九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 数列・指数・対数理系数学 第5問(c)

(1)
関数 $1\mathrm{/}x$ は $x>0$ で減少する。したがって各 $k=1,2,\dots ,n$ について$${\int }_k^{k+1}{\displaystyle \frac{dx}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{k}}$$であり、これを足すと$$\log (n+1)={\int }_1^{n+1}{\displaystyle \frac{dx}{x}}<S_n$$を得る。

また $k=2,3,\dots ,n$ について$${\displaystyle \frac{1}{k}}<{\int }_{k-1}^k{\displaystyle \frac{dx}{x}}$$である。よって$$S_n=1+\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}<1+{\int }_1^n{\displaystyle \frac{dx}{x}}=1+\log n$$である。したがって $$\log (n+1)<S_n<1+\log n$$ である。

(2) $$\mathrm{\Delta }(a_k{b}_k)=a_{k+1}{b}_{k+1}-a_k{b}_k$$ である。右辺を変形すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }(a_k{b}_k)}& {\displaystyle =a_k(b_{k+1}-b_k)+b_{k+1}(a_{k+1}-a_k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_k\mathrm{\Delta }{b}_k+b_{k+1}\mathrm{\Delta }{a}_k\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$a_k\mathrm{\Delta }{b}_k=\mathrm{\Delta }(a_k{b}_k)-b_{k+1}\mathrm{\Delta }{a}_k$$ である。これを $k=1$ から $n-1$ まで足すと$$\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k\mathrm{\Delta }{b}_k=a_n{b}_n-a_1{b}_1-\sum _{k=1}^{n-1}{b}_{k+1}\mathrm{\Delta }{a}_k$$を得る。

次に $a_k=k$、$b_k=S_k$ とする。このとき $$\mathrm{\Delta }{S}_k=S_{k+1}-S_k={\displaystyle \frac{1}{k+1}},\mathrm{\Delta }{a}_k=1$$ である。公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k\cdot {\displaystyle \frac{1}{k+1}}}& {\displaystyle =n{S}_n-S_1-\sum _{k=1}^{n-1}{S}_{k+1}\mathrm{.}}\end{array}$$これを直接使って整理してもよいが、求めたい和は次のように順序を入れ替えると速い。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}k\sum _{j=1}^k{\displaystyle \frac{1}{j}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{j}}\sum _{k=j}^{n-1}k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{j}}\{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}-{\displaystyle \frac{j(j-1)}{2}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{S}_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{j=1}^{n-1}(j-1)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$S_{n-1}=S_n-{\displaystyle \frac{1}{n}},\sum _{j=1}^{n-1}(j-1)={\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}(S_n-{\displaystyle \frac{1}{n}})-{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{S}_n-{\displaystyle \frac{n-1}{2}}-{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{S}_n-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(S_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}){\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$p(n)={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ である。

(3)
(2) より$${\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k=S_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。したがって示すべき不等式は $$\mathrm{\mid }{S}_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\log n\mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(1) より $\log (n+1)<S_n<1+\log n$ だから $$\log (n+1)-\log n-{\displaystyle \frac{1}{2}}<S_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\log n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。右側はすでに示されている。左側については $$\log (n+1)-\log n=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})>0$$ なので $$\log (n+1)-\log n-{\displaystyle \frac{1}{2}}>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<S_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\log n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$$\mid {\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k-\log n\mid <{\displaystyle \frac{1}{2}}$$が成り立つ。

(1) は面積比較で示す。(2) 後半は証明した和の部分積分公式へ $a_k=S_k$、$\mathrm{\Delta }{b}_k=k$ を代入して一度で求める。

(1)
$1\mathrm{/}x$ の単調減少性から$${\int }_k^{k+1}{\displaystyle \frac{dx}{x}}<{\displaystyle \frac{1}{k}},{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\int }_{k-1}^k{\displaystyle \frac{dx}{x}}(k\geqq 2)\mathrm{.}$$和を取れば$$\log (n+1)<S_n<1+\log n\mathrm{.}$$(2)$$a_k\mathrm{\Delta }{b}_k+b_{k+1}\mathrm{\Delta }{a}_k=a_{k+1}{b}_{k+1}-a_k{b}_k$$を $k=1,\dots ,n-1$ で足せば、設問の公式を得る。

この公式に$$a_k=S_k,\mathrm{\Delta }{b}_k=k$$を用いる。$\mathrm{\Delta }{a}_k={\displaystyle \frac{1}{k+1}}$ であり、$$b_k={\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$$と取れるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k}& {\displaystyle =S_n{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{k+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{S}_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(S_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}){\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$p(n)={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{2}{n(n-1)}}\sum _{k=1}^{n-1}k{S}_k-\log n=S_n-\log n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(1) よりこの値は $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ より大きく ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ より小さいので、所要の
絶対値不等式が従う。