九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

点 $P$ は辺 $AB$ を $\alpha :1-\alpha$ に内分するので、$$\overrightarrow{OP}=(1-\alpha )\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b}$$である。

点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて$$\overrightarrow{OQ}=s\{(1-\alpha )\overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b}\}$$と書ける。一方、$M$ は $OB$ の中点であるから $$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$$ であり、$Q$ は直線 $AM$ 上にもあるので、ある実数 $u$ を用いて$$\overrightarrow{OQ}=(1-u)\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{u}{2}}\overrightarrow{b}$$と書ける。

係数を比較すると $$s(1-\alpha )=1-u,s\alpha ={\displaystyle \frac{u}{2}}$$ である。第2式から $u=2s\alpha$ であり、これを第1式に代入すると $s(1-\alpha )=1-2s\alpha$ すなわち $s(1+\alpha )=1$ である。したがって $$s={\displaystyle \frac{1}{1+\alpha }}$$ となり、$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{1-\alpha }{1+\alpha }}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }}\overrightarrow{b}$$である。

(2)

条件より$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }\cos \theta =2\cdot 3\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}=1$$である。また$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=4,\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=9$$である。

点 $R$ は辺 $OA$ またはその延長上にあるから $$\overrightarrow{OR}=\lambda \overrightarrow{a}$$ とおく。直線 $AM$ の方向ベクトルは $$\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$$ である。したがって $QR\perp AM$ より$$(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0$$である。

ここで$$\overrightarrow{a}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1-4=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$$であり、$$\overrightarrow{b}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 9-1={\displaystyle \frac{7}{2}}$$である。また(1)より$$\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}=(\lambda -{\displaystyle \frac{1-\alpha }{1+\alpha }})\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }}\overrightarrow{b}$$であるから、垂直条件は$$-{\displaystyle \frac{7}{2}}(\lambda -{\displaystyle \frac{1-\alpha }{1+\alpha }})-{\displaystyle \frac{7}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }}=0$$となる。よって$$\lambda ={\displaystyle \frac{1-\alpha }{1+\alpha }}-{\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }}={\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}$$である。したがって $$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}\overrightarrow{a}$$ である。

(3)

点 $R$ が辺 $OA$ の中点であることは $$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}$$ と同じである。よって(2)の結果から $${\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。分母は $1+\alpha >0$ なので、$2(1-2\alpha )=1+\alpha$ すなわち $1=5\alpha$ となる。したがって $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{5}}$ である。

(1) の交点表示は解法1と同じである。(2)では $O=(0,0),A=(2,0)$ と置き，内積条件から $B=({\displaystyle \frac{1}{2}},\sqrt{35}\mathrm{/}2)$ を選ぶ。直線 $OP$，$AM$ の交点を座標で求め，$AM$ に垂直な直線と $x$ 軸の交点から $R$ を決める。(3)は $R$ の係数を ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ とする。

(1) 解法1と同様に$$\overrightarrow{OP}=(1-\alpha )\vec{a}+\alpha \vec{b},\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{1-\alpha }{1+\alpha }}\vec{a}+{\displaystyle \frac{\alpha }{1+\alpha }}\vec{b}$$である。

(2)
座標を置いて(2)を確認することもできる。$O=(0,0)$、$A=(2,0)$ とおく。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=3$、$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$$ より、$$B=({\displaystyle \frac{1}{2}},\sqrt{35}\mathrm{/}2)$$ としてよい。このとき$$P=(2-{\displaystyle \frac{3\alpha }{2}},{\displaystyle \frac{\alpha \sqrt{35}}{2}}),M=({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{4}})$$である。$Q$ を $OP$ 上で $Q=sP$、また $AM$ 上で $Q=A+u(M-A)$ と表すと、$y$ 座標から $u=2s\alpha$、$x$ 座標から $$s(2-{\displaystyle \frac{3\alpha }{2}})=2-{\displaystyle \frac{7u}{4}}$$ である。これに $u=2s\alpha$ を代入して $s(2+2\alpha )=2$ となるので、$s=1\mathrm{/}(1+\alpha )$ である。

直線 $AM$ の傾きは $${\displaystyle \frac{\sqrt{35}\mathrm{/}4}{{\displaystyle \frac{1}{4}}-2}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{7}}$$ だから、これに垂直な直線の傾きは $7\mathrm{/}\sqrt{35}$ である。$R=(2\lambda ,0)$ とおくと、$QR$ の傾きが $7\mathrm{/}\sqrt{35}$ であることから$${\displaystyle \frac{-\alpha \sqrt{35}\mathrm{/}\{2(1+\alpha )\}}{2\lambda -(4-3\alpha )\mathrm{/}\{2(1+\alpha )\}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{35}}}$$である。両辺を整理すると $$-5\alpha =4\lambda (1+\alpha )-(4-3\alpha )$$ となり、$$\lambda ={\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}$$ を得る。ゆえに同じく$$\overrightarrow{OR}=\lambda \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}\overrightarrow{a}$$である。

(3) 上の結果で $R$ が $OA$ の中点となる条件は$${\displaystyle \frac{1-2\alpha }{1+\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。これを解いて $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{5}}$ を得る。