九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{BC}=C-B=(2,2,-2)-(4,-2,2)=(-2,4,-4)$$ である。辺 $BC$ 上の点を $$Q=B+s(C-B)=(4-2s,-2+4s,2-4s)$$ とおく。 $OQ\perp BC$ より $$\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{BC}=0$$ である。したがって $$(4-2s)(-2)+(-2+4s)4+(2-4s)(-4)=0$$ である。整理すると $-24+36s=0$ より $s={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。よって $$Q=({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}})$$ であり，$$OQ=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$である。

(2) $$\overrightarrow{OB}=(4,-2,2),\overrightarrow{OC}=(2,2,-2)$$ である。内積は$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=4\cdot 2+(-2)\cdot 2+2\cdot (-2)=0$$なので，$OB\perp OC$ である。また$$OB=\sqrt{4^2+(-2{)}^2+2^2}=2\sqrt{6},OC=\sqrt{2^2+2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{3}$$である。したがって$$[OBC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OB\cdot OC={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{2}$$である。

(3)

平面 $OBC$ は原点を通るので，方程式を $lx+my+nz=0$ とおく。点 $B(4,-2,2)$，$C(2,2,-2)$ を代入すると $$4l-2m+2n=0,2l+2m-2n=0$$ である。これを解くと $l=0,m=n$ とできるので，平面は $y+z=0$ である。

この平面の法線方向は $(0,1,1)$ である。したがって $A(1,1,4)$ から下ろした垂線上の点を $(1,1+s,4+s)$ とおく。この点が平面上にあるとき $(1+s)+(4+s)=0$ だから $s=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。よって $${\displaystyle R=(1,-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})}$$ である。

(4)

高さは$$AR=\sqrt{0^2+{(-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2}={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$$である。したがって四面体 $OABC$ の体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot [OBC]\cdot AR={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}=10$$である。

$Q$ は辺への垂足、$R$ は面への垂足であり、求め方を分けて考える。