九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
点 $N$ は平面 $ABC$ 上にあるので、実数 $\lambda ,\mu$ を用いて $$\overrightarrow{AN}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$$ と表せる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{ON}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AN}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\vec{a}+\lambda (\vec{b}-\vec{a})+\mu (\vec{c}-\vec{a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\lambda -\mu )\vec{a}+\lambda \vec{b}+\mu \vec{c}}\end{array}$$である。ここで $$s=1-\lambda -\mu ,t=\lambda ,u=\mu$$ とおけば $$\vec{n}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$$ であり、$$s+t+u=(1-\lambda -\mu )+\lambda +\mu =1$$ である。よって平面 $ABC$ 上の点については $s+t+u=1$ が成り立つ。

(2)
内積の条件と $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=r$$ より、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2(s^2+t^2+u^2)+2tu(\vec{b}\cdot \vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2(s^2+t^2+u^2+2ktu)}\end{array}$$である。したがって $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2}{r^2}}=s^2+t^2+u^2+2ktu$$ を $s+t+u=1$ のもとで最小化すればよい。 $v=t+u$ とおくと $s=1-v$ である。また $$t^2+u^2+2ktu={\displaystyle \frac{1+k}{2}}(t+u{)}^2+{\displaystyle \frac{1-k}{2}}(t-u{)}^2$$ である。$0\leqq k<1$ なので、第2項は $t=u$ のとき最小となる。よって最小点では $$t=u={\displaystyle \frac{v}{2}}$$ である。

このとき $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2}{r^2}}=(1-v{)}^2+{\displaystyle \frac{1+k}{2}}{v}^2$$ となる。この2次式を $v$ で微分すると $-2(1-v)+(1+k)v=(3+k)v-2$ であるから、最小となるのは $$v={\displaystyle \frac{2}{k+3}}$$ のときである。したがって $$t=u={\displaystyle \frac{1}{k+3}},s=1-v={\displaystyle \frac{k+1}{k+3}}$$ である。

(3)
座標を $$O=(0,0,0),A=(r,0,0),B=(0,r,0)$$ となるように取る。$\vec{c}\cdot \vec{a}=0$ より $C$ の $x$ 座標は $0$ である。また $\vec{b}\cdot \vec{c}=k{r}^2$ より、$C$ の $y$ 座標は $kr$ である。さらに $\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=r$ だから、向きを選べば $$C=(0,kr,r\sqrt{1-k^2})$$ とおける。

三角形 $OAB$ は直角二等辺三角形であり、その面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2$ である。点 $C$ から平面 $OAB$、すなわち $xy$ 平面までの高さは $r\sqrt{1-k^2}$ である。したがって三角錐 $OABC$ の体積は $$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot r\sqrt{1-k^2}={\displaystyle \frac{1}{6}}{r}^3\sqrt{1-k^2}$$ である。