九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$h(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ とおく。$0<x<1$ では $\log x<0$ であるから $h(x)<0$ であり、右辺 $1\mathrm{/}(3n)$ は正なので、この範囲には解はない。 $x>0$ で $$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}-\log x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$$ である。したがって $h(x)$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。また $$h(1)=0,h(e)={\displaystyle \frac{1}{e}},\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=0$$ である。

ここで $e<3$ より $${\displaystyle \frac{1}{e}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{3n}}$$ が成り立つ。よって増加区間 $(1,e)$ では、値が $0$ から $1\mathrm{/}e$ まで増えるので、方程式 $${\displaystyle \frac{\log x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{3n}}$$ はただ1つの解をもつ。また減少区間 $(e,\mathrm{\infty })$ では、値が $1\mathrm{/}e$ から $0$ に近づくので、ここにもただ1つの解をもつ。以上より、$x>0$ の範囲に解はちょうど2つある。

(2)

(1) より、小さい方の解 ${\alpha }_n$ は $(1,e)$ にある。さらに $$h(e^{1\mathrm{/}n})={\displaystyle \frac{\log e^{1\mathrm{/}n}}{e^{1\mathrm{/}n}}}={\displaystyle \frac{1}{n{e}^{1\mathrm{/}n}}}$$ である。$e^{1\mathrm{/}n}\leqq e<3$ だから $${\displaystyle \frac{1}{n{e}^{1\mathrm{/}n}}}>{\displaystyle \frac{1}{3n}}$$ となる。$h(x)$ は $(1,e)$ で増加し、$h(1)=0<1\mathrm{/}(3n)$、$h(e^{1\mathrm{/}n})>1\mathrm{/}(3n)$ であるから、交点は $1$ と $e^{1\mathrm{/}n}$ の間にある。したがって $1<{\alpha }_n<e^{1\mathrm{/}n}$ である。

次に大きい方の解 ${\beta }_n$ を考える。$ne\geqq e$ であり、$$h(ne)={\displaystyle \frac{\log (ne)}{ne}}={\displaystyle \frac{1+\log n}{ne}}$$ である。これが $1\mathrm{/}(3n)$ より大きいことは $${\displaystyle \frac{1+\log n}{ne}}>{\displaystyle \frac{1}{3n}}$$ すなわち $3(1+\log n)>e$ と同値である。自然数 $n$ について $\log n\geqq 0$ であり、$e<3$ だから、この不等式は成り立つ。 $h(x)$ は $(e,\mathrm{\infty })$ で減少する。したがって $x=ne$ でまだ右辺より大きいなら、右辺と等しくなる点はその右側にある。ゆえに $ne<{\beta }_n$ である。

最後に $1<{\alpha }_n<e^{1\mathrm{/}n}$ で、$e^{1\mathrm{/}n}\to 1$ であるから、はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\alpha }_n=1$$ である。