九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

各辺の長さの2乗を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =(1-t{)}^2+t^2+(-1{)}^2=2(t^2-t+1),}\\ {\displaystyle B{C}^2}& {\displaystyle =(-1{)}^2+(1-t{)}^2+t^2=2(t^2-t+1),}\\ {\displaystyle C{A}^2}& {\displaystyle =t^2+(-1{)}^2+(1-t{)}^2=2(t^2-t+1)}\end{array}$$である。したがって $$AB=BC=CA=\sqrt{2(t^2-t+1)}$$ となり，$\mathrm{△}ABC$ は正三角形である。

正三角形の面積は，一辺の長さを $a$ とすると ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}^2$ であるから$$S(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot 2(t^2-t+1)={\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(t^2-t+1)}$$である。

(2)

重心 $G$ の座標は3頂点の座標の平均である。よって $G({\displaystyle \frac{t+1}{3}},{\displaystyle \frac{t+1}{3}},{\displaystyle \frac{t+1}{3}})$ である。一方 $P({\displaystyle \frac{4}{9}}t,{\displaystyle \frac{4}{9}}t,{\displaystyle \frac{4}{9}}t)$ なので$$\overrightarrow{PG}=({\displaystyle \frac{t+1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}t,{\displaystyle \frac{t+1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}t,{\displaystyle \frac{t+1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}t)={\displaystyle \frac{3-t}{9}}(1,1,1)$$である。

また $$\overrightarrow{AB}=(1-t,t,-1),\overrightarrow{AC}=(-t,1,t-1)$$ である。これらの成分の和はそれぞれ $$(1-t)+t-1=0,-t+1+t-1=0$$ である。したがって$$\overrightarrow{PG}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\overrightarrow{PG}\cdot \overrightarrow{AC}=0$$となる。よって $\overrightarrow{PG}$ は $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直である。

(3)

(2) より，$PG$ は三角形 $ABC$ を含む平面に垂直である。したがって四面体 $PABC$ の高さは $PG$ である。$0\leqq t\leqq 1$ では $3-t>0$ なので $$PG={\displaystyle \frac{3-t}{9}}\sqrt{3}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}S(t)PG}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(t^2-t+1)\cdot {\displaystyle \frac{3-t}{9}}\sqrt{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{(t^2-t+1)(3-t)}{18}}}}\end{array}$$である。

ここで $$F(t)=(t^2-t+1)(3-t)=-t^3+4t^2-4t+3$$ とおく。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^2+8t-4=-(3t-2)(t-2)$$ である。$0\leqq t\leqq 1$ において，$F^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ は $0<t<{\displaystyle \frac{2}{3}}$，$F^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ は ${\displaystyle \frac{2}{3}}<t<1$ である。したがって $F(t)$ は $t={\displaystyle \frac{2}{3}}$ で最小となる。

このとき $$t^2-t+1={\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+1={\displaystyle \frac{7}{9}},3-t={\displaystyle \frac{7}{3}}$$ だから$$V_{\min }={\displaystyle \frac{1}{18}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{49}{486}}}$$である。最小値を与える値は $${\displaystyle t={\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ である。

重心 $G$ を通る $(1,1,1)$ 方向が底面の法線になり、$PG$ が四面体の高さになる。