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九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

a，bを正の数とし，
空間内の3点A(a, −a, b)，B(−a, a, b)，C(a, a, −b)を考える．
A，B，Cを通る平面をα，
原点Oを中心としA，B，Cを通る球面をSとおく．
このとき，次の問いに答えよ．

(1) 線分ABの中点をDとするとき，
DC→⊥AB→およびDO→⊥AB→であることを示せ．
また△ABCの面積を求めよ．

(2) ベクトルDC→とDO→のなす角をθとするとき
sin⁡θを求めよ．
また，平面αに垂直で原点Oを通る直線と平面αとの交点をHとするとき，
線分OHの長さを求めよ．

(3) 点Pが球面S上を動くとき，
四面体ABCPの体積の最大値を求めよ．
ただし，Pは平面α上にはないものとする．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安25分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、内積の利用、体積計算

方針

(1) は中点 D の座標を出し，AB,DC,DO の成分を並べて内積で直交を示す。面積は AB⊥DC を利用して 12∣AB∣∣DC∣ とする。(2)は DC と DO の内積から cos⁡θ を出し，sin⁡θ を求める。OH は平面 ABC への原点からの距離であり，AB に垂直な断面三角形 ODC の高さとして DOsin⁡θ で求まる。(3)は球の半径と中心 O から平面 α までの距離 OH を使い，球面上の点から平面までの最大距離が R+OH になることから体積最大を出す。

解答

(1)

線分 AB の中点は D=(a−a2,−a+a2,b+b2)=(0,0,b) である。したがって AB→=B−A=(−2a,2a,0) であり，DC→=C−D=(a,a,−2b),DO→=O−D=(0,0,−b)である。

内積を計算すると AB→⋅DC→=(−2a)a+(2a)a+0=0 であり，また AB→⋅DO→=0 である。よってDC→⊥AB→,DO→⊥AB→である。

さらにAB=22a,DC=a2+a2+4b2=2a2+4b2=2a2+2b2である。AB⊥DC より，DC は AB を底辺としたときの頂点 C からの高さである。したがって[ABC]=12AB⋅DC=12⋅22a⋅2a2+2b2=2aa2+2b2である。

(2) DC→⋅DO→=(a,a,−2b)⋅(0,0,−b)=2b2である。また ∣DC∣=2a2+2b2,∣DO∣=b なのでcos⁡θ=2b2b2a2+2b2=2ba2+2b2である。したがって sin⁡2θ=1−2b2a2+2b2=a2a2+2b2 であり，a>0 だから sin⁡θ=aa2+2b2 である。

次に OH を求める。AB は DC と DO の両方に垂直なので，点 O,D,C を含む平面は AB に垂直である。この断面で見ると，平面 α と断面の交線は直線 DC であり，OH は点 O から直線 DC に下ろした高さである。したがって三角形 ODC においてOH=DOsin⁡θ=b⋅aa2+2b2=aba2+2b2である。

(3)

球面 S の半径は OA=a2+a2+b2=2a2+b2 である。この半径を R と書くと R=2a2+b2 である。

四面体 ABCP の底面を ABC とすると，体積は 13[ABC]×(P から平面 α までの距離) である。球の中心 O から平面 α までの距離は OH であるから，球面上の点 P から平面 α までの距離の最大値は，O から平面 α と反対側の法線方向に半径だけ進んだ点で R+OH となる。

したがって体積の最大値はVmax⁡=13⋅2aa2+2b2(2a2+b2+aba2+2b2)=2a3{(a2+2b2)(2a2+b2)+ab}である。

AB に垂直な断面で見ると、空間内の距離 OH は三角形 ODC の高さになる。

総評

難度6，計算量6。中点 D を取ることで，AB に垂直な断面 ODC が見える構成になっている。(2)の OH は空間内の距離だが，断面三角形 ODC の高さとして処理できるのがポイントである。(3)では，固定平面に対する球面上の点の距離最大が「中心から平面までの距離＋半径」になることを明確に書くとよい。目安時間は25分前後。

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出典: 九州大学 2007年度 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。