九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2)$ であるから，$f(x)=0$ は $x^2-2=0$ または $x^2-4x+2=0$ と同値である。よって $x=\pm \sqrt{2}$ および $$x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-8}}{2}}=2\pm \sqrt{2}$$ を得る。

大小を比べると $$-\sqrt{2}<2-\sqrt{2}<\sqrt{2}<2+\sqrt{2}$$ である。したがって小さい順に $-\sqrt{2},2-\sqrt{2},\sqrt{2},2+\sqrt{2}$ である。

(2)

4つの解はいずれも重解ではなく，$f(x)$ の最高次の係数は正である。したがって $x$ が十分大きいところでは $f(x)>0$ であり，解を通るたびに符号が変わる。よって $f(x)\leqq 0$ となる範囲は $$-\sqrt{2}\leqq x\leqq 2-\sqrt{2},\sqrt{2}\leqq x\leqq 2+\sqrt{2}$$ である。

ここで $$-2<-\sqrt{2}<-1<0<2-\sqrt{2}<1$$ および $1<\sqrt{2}<2<3<2+\sqrt{2}<4$ であるから，この範囲にある整数は$$\begin{gathered} -1, \\ 0, \\ 2, \\ 3 \end{gathered}$$である。

(3)

まず候補を絞る。$n\leqq -2$ のとき $n^2-2\geqq 2,n^2-4n+2\geqq 14$ なので $f(n)\geqq 28>1$ である。また $n\geqq 4$ のとき $n^2-2\geqq 14,n^2-4n+2\geqq 2$ なので，やはり $f(n)\geqq 28>1$ である。

したがって調べるべき整数は $-1,0,1,2,3$ に限られる。代入すると$$\begin{array}{crrrrr}n& -1& 0& 1& 2& 3\\ f(n)& -1& -4& 1& -2& -7\end{array}$$であり，すべて $1$ 以下である。よって求める整数は$$\begin{gathered} -1, \\ 0, \\ 1, \\ 2, \\ 3 \end{gathered}$$である。

4つの単根を左から並べると、符号は根を通るたびに交互に変わる。

(1) は2つの二次因子から4根を求める。(2)は各整数への代入ではなく、根で区切った符号表から整数を拾う。(3)は$$f(x)-1=(x-1{)}^2(x^2-2x-5)$$を先に用い、積が0以下となる整数範囲を一度に決める。

(1)

二つの因子をそれぞれ0とおくと$$x=\pm \sqrt{2},x=2\pm \sqrt{2}$$を得る。また $2-\sqrt{2}>0$ かつ $2-\sqrt{2}<\sqrt{2}$ なので、小さい順は$$-\sqrt{2},2-\sqrt{2},\sqrt{2},2+\sqrt{2}$$である。

(2)

最高次係数が正で4根はすべて単根だから、符号表は$$\begin{array}{cccccc}x& (-\mathrm{\infty },-\sqrt{2})& (-\sqrt{2},2-\sqrt{2})& (2-\sqrt{2},\sqrt{2})& (\sqrt{2},2+\sqrt{2})& (2+\sqrt{2},\mathrm{\infty })\\ f(x)& +& -& +& -& +\end{array}$$となる。したがって $f(n)\leqq 0$ を満たす整数は$$n=-1,0,2,3$$である。

(3)

展開してから因数分解すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-1}& {\displaystyle =x^4-4x^3+8x-5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-1{)}^2(x^2-2x-5)}\end{array}$$である。よって$$f(n)\leqq 1⟺(n-1{)}^2\{(n-1{)}^2-6\}\leqq 0.$$平方因子を考えると$$(n-1{)}^2\leqq 6$$で十分であり、整数 $n$ について$$-1\leqq n\leqq 3.$$したがって$$n=-1,0,1,2,3$$である。