九州大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

$k$ を実数とし，整式 $f (x)$ を

f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - k x^{2} + 2 k x - 64

で定める。方程式 $f (x) = 0$ が虚数解をもつとき，以下の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ は $x - 2$ で割り切れることを示せ。

(2) 方程式 $f (x) = 0$ は負の実数解をもつことを示せ。

(3) 方程式 $f (x) = 0$ のすべての実数解が整数であり，すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとする。このような $k$ をすべて求めよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

$f (2) = 0$ を直接確認して，まず既知の実数解 $2$ を取り出す。残りの3次式が虚数解をもつなら，実係数であるため虚数解は共役な2解となり，残り1つは実数解である。その実数解の符号は根の積から判定する。整数条件のある最後の設問では，3次式の根を $r$ ， $u \pm v i$ と置き， $r + 2 u$ ， $r (u^{2} + v^{2})$ ， $2 r u + u^{2} + v^{2}$ を係数比較して候補を有限個に絞る。

解法2（共役根のノルムを先に列挙）

3次因子の根を $r, u \pm v i$ とする点は同じだが， $q = u^{2} + v^{2}$ を先に置く。積の関係から $q$ は32の正の約数， $r = - 32/ q$ であり，根の和から $u = - 4 + 16/ q$ と決まる。有限個の $q$ について $u$ が整数かつ $v^{2} = q - u^{2}$ が正の平方数かを調べると，表を短く整理できる。

解答

解法1

(1)

直接代入すると $f (2) = 2^{4} + 6 \cdot 2^{3} - k \cdot 2^{2} + 2 k \cdot 2 - 64 = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0$ である。よって剰余の定理より， $f (x)$ は $x - 2$ で割り切れる。

(2)

割り算を行うと $f (x) = (x - 2) {x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32}$ である。 $x = 2$ は実数解なので，方程式 $f (x) = 0$ が虚数解をもつなら，3次式 $h (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32$ が虚数解をもつ。 $h (x)$ は実係数だから，虚数解は共役な2解であり，それらを $u \pm v i (v \neq = 0)$ とおくことができる。残りの実数解を $r$ とする。

3次式 $h (x)$ の根の積は，定数項を用いて $r (u + v i) (u - v i) = - 32$ である。ここで $(u + v i) (u - v i) = u^{2} + v^{2} > 0$ だから $r = \frac{- 32}{u ^{2} + v ^{2}} < 0$ である。したがって $f (x) = 0$ は負の実数解をもつ。

(3)

(2) と同じく，3次式 $h (x)$ の実数解を $r$ ，虚数解を $u \pm v i$ とおく。条件より $r, u, v$ は整数であり， $v > 0$ としてよい。すると $h (x) = (x - r) {(x - u)^{2} + v^{2}}$ である。展開して係数を比べると $r + 2 u = - 8, r (u^{2} + v^{2}) = - 32, 2 r u + u^{2} + v^{2} = 16 - k$ を得る。

第2式より $r$ は $- 32$ の負の約数である。また第1式から $u = \frac{- 8 - r}{2}$ でなければならない。 $u$ が整数なので $r$ は偶数であり，奇数の候補 $r = - 1$ は除かれる。残る候補を調べると

r - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 u - 3 - 2 0412 u^{2} + v^{2} = - 32/ r 168421 v^{2} 744 - 14 - 143

となる。したがって可能なのは $(r, u, v) = (- 4, - 2, 2), (- 8, 0, 2)$ だけである。

最後に第3式 $2 r u + u^{2} + v^{2} = 16 - k$ を用いる。 $(r, u, v) = (- 4, - 2, 2)$ のとき $2 r u + u^{2} + v^{2} = 16 + 4 + 4 = 24$ であるから $16 - k = 24$ ，すなわち $k = - 8$ である。 $(r, u, v) = (- 8, 0, 2)$ のとき $2 r u + u^{2} + v^{2} = 0 + 0 + 4 = 4$ であるから $16 - k = 4$ ，すなわち $k = 12$ である。

よって求める値は $k = - 8, 12$ である。

解法2（共役根のノルムを先に列挙）

(1)

直接代入して

f (2) = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0.

よって剰余の定理から $f (x)$ は $x - 2$ で割り切れる。

(2)

f (x) = (x - 2) h (x), h (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32.

$h$ の虚数解を $u \pm v i (v \neq = 0)$ ，残る実数解を $r$ とする。根の積から

r (u^{2} + v^{2}) = - 32.

$u^{2} + v^{2} > 0$ だから $r < 0$ であり， $f (x) = 0$ は負の実数解をもつ。

(3)

条件より $r, u, v$ は整数で， $v > 0$ としてよい。ここで

q = u^{2} + v^{2}

とおく。根の積と根の和から

r q = - 32, r + 2 u = - 8.

したがって

r = - \frac{32}{q}, u = - 4 + \frac{16}{q} .

$q$ は32の正の約数であり， $u$ が整数になる候補を調べると

q 12481632 r - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 u 1240 - 2 - 3 - \frac{7}{2} v^{2} = q - u^{2} - 143 - 14 447 不適

となる。 $v$ が正の整数になるのは

(r, u, v) = (- 8, 0, 2), (- 4, - 2, 2)

だけである。

係数比較から

2 r u + u^{2} + v^{2} = 16 - k .

前者では $16 - k = 4$ より $k = 12$ ，後者では $16 - k = 24$ より $k = - 8$ である。したがって

k = - 8, 12 .

九州大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（共役根のノルムを先に列挙）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（共役根のノルムを先に列挙）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2022年度
文系数学第3問