九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 数と式・論証・証明文系数学 第3問(b)

(1)
真である。背理法で示す。もし $\sqrt{7}$ が有理数なら、互いに素な整数 $p,q$ を用いて $$\sqrt{7}={\displaystyle \frac{p}{q}}$$ と書ける。両辺を2乗して $p^2=7q^2$ である。よって $p^2$ は7で割り切れるので、$p$ も7で割り切れる。$p=7p_1$ とおくと $49p_1^2=7q^2$ より $q^2=7p_1^2$ となる。したがって $q$ も7で割り切れる。これは $p,q$ が互いに素であることに反する。よって $\sqrt{7}$ は無理数である。

(2)
偽である。反例を挙げればよい。 $$a=1+\sqrt{2},b=1-\sqrt{2}$$ とする。このとき $a,b$ はともに無理数であるが、$a+b=2,ab=1-2=-1$ であり、和も積も0でない有理数である。したがって命題は偽である。

(3)
偽である。$\alpha =1+\sqrt{2}$ を考える。$\alpha$ は無理数である。任意の自然数 $n$ について、${\alpha }^n$ は ${\alpha }^n=A_n+B_n\sqrt{2}$ の形に書け、しかも $A_n,B_n$ は正の整数であることを示す。$n=1$ では $A_1=1$、$B_1=1$ で成り立つ。${\alpha }^n=A_n+B_n\sqrt{2}$ と書けるなら $${\alpha }^{n+1}=(A_n+B_n\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=(A_n+2B_n)+(A_n+B_n)\sqrt{2}$$ であり、係数はやはり正の整数である。よって帰納的に成り立つ。

特にすべての $n$ で $B_n>0$ なので、${\alpha }^n$ は有理数ではない。したがって「無理数は何乗かすると有理数になる」という命題は偽である。

(4)
真である。$s=a+b$、$p=ab$ とおく。仮定より $s,p$ は有理数である。べき和 $u_n=a^n+b^n$ を考える。$a,b$ は2次方程式 $t^2-st+p=0$ の解であるから $$a^2=sa-p,b^2=sb-p$$ である。これに $a^{n-2}$、$b^{n-2}$ をそれぞれ掛けて足すと、$n\geqq 2$ で $u_n=s{u}_{n-1}-p{u}_{n-2}$ を得る。

初期値は $u_0=2,u_1=s$ で、どちらも有理数である。漸化式の係数 $s,p$ も有理数なので、帰納的にすべての $u_n$ は有理数である。特に $a^5+b^5=u_5$ は有理数である。

偽の命題には共役な無理数を反例として使う。
真のべき和命題は $s=a+b,p=ab$ を用いて
$a^5+b^5$ を明示的な多項式に直す。

(1) 真。もし $\sqrt{7}=p\mathrm{/}q$ を既約分数で表せるなら
$p^2=7q^2$ である。よって $7\mid p$、さらに $7\mid q$ となり、
既約性に反する。

(2) 偽。例えば$$a=1+\sqrt{2},b=1-\sqrt{2}$$はともに無理数だが、$a+b=2,ab=-1$ である。

(3) 偽。$\alpha =1+\sqrt{2}$ とする。$${\alpha }^n=A_n+B_n\sqrt{2}$$と書くと$$A_{n+1}=A_n+2B_n,B_{n+1}=A_n+B_n\mathrm{.}$$$A_1=B_1=1$ だから、すべての $n\geqq 1$ で $B_n>0$ である。
従って ${\alpha }^n$ は一度も有理数にならない。

(4) 真。$s=a+b,p=ab$ とすると、恒等式の展開から$$a^5+b^5=s^5-5p{s}^3+5p^{2}s\mathrm{.}$$$s,p$ は有理数なので、右辺も有理数である。