九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

整式 $x^n$ を $(x-\alpha )(x-\beta {)}^2$ で割ると，商を $Q(x)$，余りを $R(x)$ として $$x^n=(x-\alpha )(x-\beta {)}^{2}Q(x)+R(x)$$ と表せる。ただし $R(x)$ は2次以下の整式である。

ここで $A(x-\alpha )(x-\beta )+B(x-\alpha )+C$ も2次以下の整式である。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ なので，$A,B,C$ を適当に選べば任意の2次以下の余りをこの形で表せる。例えば最高次係数を $A$ で合わせ，次に1次係数を $B$ で合わせ，最後に定数項を $C$ で合わせればよい。したがって条件を満たす実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ が存在する。

(2)

(1) の等式に $x=\alpha$ を代入すると，$x-\alpha$ を含む項はすべて消えるので $C={\alpha }^n$ である。

次に $x=\beta$ を代入すると，$(x-\beta )$ を含む項は消え，$${\beta }^n=B(\beta -\alpha )+C$$ となる。よって $$B={\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{\beta -\alpha }}$$ である。

さらに両辺を $x$ で微分する。$(x-\alpha )(x-\beta {)}^{2}Q(x)$ の微分は，$x=\beta$ を代入すると各項に $(x-\beta )$ が残るため $0$ になる。また $$\{A(x-\alpha )(x-\beta ){\}}^{\mathrm{\prime }}=A\{(x-\beta )+(x-\alpha )\}$$ であるから，$x=\beta$ では $A(\beta -\alpha )$ となる。したがって $$n{\beta }^{n-1}=A(\beta -\alpha )+B$$ である。これに $B$ の値を代入して$$A={\displaystyle \frac{n{\beta }^{n-1}}{\beta -\alpha }}-{\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{(\beta -\alpha {)}^2}}={\displaystyle \frac{n{\beta }^{n-1}(\beta -\alpha )-({\beta }^n-{\alpha }^n)}{(\beta -\alpha {)}^2}}$$を得る。

(3) $\beta =\alpha +h$ とおく。$h\to 0$ が $\beta \to \alpha$ に対応する。二項定理より，ある整式 $P(h),Q(h)$ を用いて$$(\alpha +h{)}^n={\alpha }^n+n{\alpha }^{n-1}h+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{\alpha }^{n-2}{h}^2+h^{3}P(h)$$また $$n(\alpha +h{)}^{n-1}h=n{\alpha }^{n-1}h+n(n-1){\alpha }^{n-2}{h}^2+h^{3}Q(h)$$ と表せる。したがって (2) の $A$ の分子は，ある整式 $R(h)$ を用いて$$\{n(n-1)-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\}{\alpha }^{n-2}{h}^2+h^{3}R(h)={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{\alpha }^{n-2}{h}^2+h^{3}R(h)$$である。分母は $h^2$ だから，$h\to 0$ とすると $hR(h)\to 0$ であり $$\underset{\beta \to \alpha }{\lim }A={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{\alpha }^{n-2}$$ である。

(1) (2) は2次以下の余りを問題の基底で表し，$x=\alpha$，$x=\beta$，微分後の $x=\beta$ の3条件で決める。(3) では二項展開を使わず，${\beta }^j-{\alpha }^j$ の因数分解を有限和に直す。各項の極限を直接取ることで，1次項の相殺を式の差として処理する。

(1)
$x^n$ を $(x-\alpha )(x-\beta {)}^2$ で割った余りを $R(x)$ とすると $\mathrm{deg}R\leqq 2$ である。3つの整式$$(x-\alpha )(x-\beta ),x-\alpha ,1$$は2次以下の整式全体の基底になる。実際，最高次係数，1次係数，定数項の順に係数を合わせられる。よって$$R(x)=A(x-\alpha )(x-\beta )+B(x-\alpha )+C$$と一意に表せ，所要の $A,B,C,Q(x)$ が存在する。

(2)
$x=\alpha$ を代入して$$C={\alpha }^n\mathrm{.}$$$x=\beta$ を代入して$${\beta }^n=B(\beta -\alpha )+C,B={\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{\beta -\alpha }}\mathrm{.}$$さらに両辺を微分して $x=\beta$ を代入すると$$n{\beta }^{n-1}=A(\beta -\alpha )+B\mathrm{.}$$したがって$$A={\displaystyle \frac{n{\beta }^{n-1}}{\beta -\alpha }}-{\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{(\beta -\alpha {)}^2}}={\displaystyle \frac{n{\beta }^{n-1}(\beta -\alpha )-({\beta }^n-{\alpha }^n)}{(\beta -\alpha {)}^2}}\mathrm{.}$$(3)
差の冪の因数分解から$${\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{\beta -\alpha }}=\sum _{j=0}^{n-1}{\beta }^{n-1-j}{\alpha }^j\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n{\beta }^{n-1}-\sum _{j=0}^{n-1}{\beta }^{n-1-j}{\alpha }^j}{\beta -\alpha }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}{\beta }^{n-1-j}{\displaystyle \frac{{\beta }^j-{\alpha }^j}{\beta -\alpha }}\mathrm{.}}\end{array}$$さらに$${\displaystyle \frac{{\beta }^j-{\alpha }^j}{\beta -\alpha }}=\sum _{k=0}^{j-1}{\beta }^{j-1-k}{\alpha }^k⟶j{\alpha }^{j-1}(\beta \to \alpha )\mathrm{.}$$したがって各項は $j{\alpha }^{n-2}$ に近づき，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{\beta \to \alpha }{\lim }A}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}j{\alpha }^{n-2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{\alpha }^{n-2}\mathrm{.}}\end{array}$$