九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

直線 $y=-x$ に関する対称移動では，点 $(x,y)$ は $(-y,-x)$ に移る。したがって，この移動を表す行列 $A$ は$${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)}$$である。

(2)

原点中心に正の向きに60度回転する行列を $R_{60}$ とすると$$R_{60}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。問題の移動は，まず $R_{60}$ を行い，次に $A$ を行うので，求める行列は $B=A{R}_{60}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)}}\end{array}$$である。

(3)

まず$$B^2={\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。したがって3回行った結果は $B^{3}Q=BQ$ と同じである。$Q=(1,0)$ より$$BQ=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。よって ${\displaystyle R(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})}$ である。

(4) $B^2=E$ なので，$B$ の逆変換は $B$ 自身である。したがって$$BS=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$を満たす点 $S$ は$$S=B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$である。計算すると$$S=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right)$$である。よって$${\displaystyle S(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}})}$$である。

「先に回転、後に反射」なので、列ベクトルに作用する行列は $B=A{R}_{60}$ の順で掛ける。

回転と鏡映の合成を幾何的に一つの鏡映として捉える。方向角 $\theta$ のベクトルは、60度回転で $\theta +{60}^{\circ }$、方向角 $-{45}^{\circ }$ の直線に関する鏡映で $2(-{45}^{\circ })-(\theta +{60}^{\circ })=-\theta -{150}^{\circ }$ へ移る。この角度変換から行列と、2乗が恒等変換であることを同時に得る。

(1)

直線 $y=-x$ に関する鏡映は$$(x,y)⟼(-y,-x)$$だから$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

単位ベクトル $(\cos \theta ,\sin \theta )$ をまず ${60}^{\circ }$ 回し、その後 $y=-x$ に関して反射すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =-\sin (\theta +{60}^{\circ }),}\\ {\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =-\cos (\theta +{60}^{\circ })\mathrm{.}}\end{array}$$加法定理で $\cos \theta ,\sin \theta$ の係数を読むと$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがってこれが $B$ である。

(3)

この変換は一つの鏡映なので、2回行えば元に戻る。よって $B^2=E$、$B^3=B$ である。したがって$$R=B\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(4)

逆変換も $B$ 自身だから$$S=B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$