九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第2問

(1)

直線ABの方向ベクトルは $$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,4-6)=(1,-2)$$ である．点Cは直線AB上にあるので，実数$u$を用いて $$C=A+u\overrightarrow{AB}=(2,6)+u(1,-2)=(2+u,6-2u)$$ と表せる．さらに$OC\perp AB$だから $(2+u,6-2u)\cdot (1,-2)=0$ である．これを解くと $$2+u-2(6-2u)=0,5u-10=0,u=2$$ となる．したがって $C=(4,2)$ である．

また $$\overrightarrow{OP}=s(2,6)+t(3,4)=(2s+3t,6s+4t)$$ なので $P=(2s+3t,6s+4t)$ である．よって $$\overrightarrow{CP}=(2s+3t-4,6s+4t-2)$$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(2s+3t-4{)}^2+(6s+4t-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =40s^2+60st-40s+25t^2-40t+20}\end{array}$$である．したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2=40s^2+60st-40s+25t^2-40t+20$$ である．

(2) $s=1\mathrm{/}2$を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =40{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+60\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)t-40\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+25t^2-40t+20}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25t^2-10t+10}\end{array}$$である．平方完成すると $$25t^2-10t+10=25{(t-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^2+9$$ である．頂点$t=1\mathrm{/}5$は$t\geqq 0$を満たすので，最小値は $9$ である．

(3) $s=1$を代入すると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2=25t^2+20t+20$$ である．平方完成すると $$25t^2+20t+20=25{(t+{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+16$$ であり，頂点は$t=-2\mathrm{/}5$である．これは条件$t\geqq 0$の範囲外にある．二次関数は上に開くので，$t\geqq 0$では端点$t=0$で最小となる．よって最小値は $20$ である．

垂線の足 $C$ とベクトルの配置