九大 2006年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) (2)は，指定されたベクトルを「垂直な残り成分」として分ける。長さの2乗を取れば，垂直な成分どうしの内積が0になり，余分な平方が加わるだけなので最小性が分かる。(3)では $h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c}$ が $\vec{a}, \vec{b}$ の両方に垂直になるように内積条件を立て，(2)を適用する。

解答

(1) $\vec{u} = h \vec{a} + \vec{b}$ とおく。仮定より $\vec{u} ⊥ \vec{a}$ である。任意の実数 $x$ について $x \vec{a} + \vec{b} = (x - h) \vec{a} + \vec{u}$ である。右辺の2つのベクトルは垂直なので $∣ x \vec{a} + \vec{b} ∣^{2} = (x - h)^{2} ∣ \vec{a} ∣^{2} + ∣ \vec{u} ∣^{2}$ である。第1項は0以上だから $∣ x \vec{a} + \vec{b} ∣^{2} ≧ ∣ \vec{u} ∣^{2}$ であり，両辺は長さなので $∣ x \vec{a} + \vec{b} ∣ ≧ ∣ h \vec{a} + \vec{b} ∣$ を得る。 $\vec{a} = \vec{0}$ の場合も，第1項が0になるだけで同じ式が成り立つ。

(2) $\vec{u} = h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c}$ とおく。仮定より $\vec{u}$ は $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ のいずれとも垂直である。任意の実数 $x, y$ について $x \vec{a} + y \vec{b} + \vec{c} = (x - h) \vec{a} + (y - k) \vec{b} + \vec{u}$ である。 $(x - h) \vec{a} + (y - k) \vec{b}$ は， $\vec{u}$ と垂直である。したがって $\begin{aligned} ∣ x \vec{a} + y \vec{b} + \vec{c} ∣^{2} & = ∣ (x - h) \vec{a} + (y - k) \vec{b} ∣^{2} + ∣ \vec{u} ∣^{2} \\ ≧ ∣ \vec{u} ∣^{2} . \end{aligned}$ よって $∣ x \vec{a} + y \vec{b} + \vec{c} ∣ ≧ ∣ h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c} ∣$ が成り立つ。

(3) $\vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (1, 4, - 2), \vec{c} = (- 3, - 6, 6)$ である。 $h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c}$ が $\vec{a}$ と垂直である条件は $(h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$ であり， $3 h + 3 k - 3 = 0$ すなわち $h + k = 1$ である。また $\vec{b}$ と垂直である条件は $3 h + 21 k - 39 = 0$ すなわち $h + 7 k = 13$ である。これらを解くと $h = - 1, k = 2$ である。このとき $h \vec{a} + k \vec{b} + \vec{c} = - \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} = (- 2, 1, 1)$ である。よって(2)より，最小値を与えるのは $x = - 1, y = 2$ であり，その最小値は $∣ (- 2, 1, 1) ∣ = \sqrt{6}$ である。

総評

抽象的なベクトルの最小化を，垂直成分への分解として書けるかが問われる。目安は20分程度。長さそのものではなく長さの2乗で比べると，垂直条件で交差項が消える。(3)は2本の内積条件 $h + k = 1$ ， $h + 7 k = 13$ を正確に立てることが得点の中心である。

出典: 九州大学 2006年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

総評

九州大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問