九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

直線 $OQ$ を基準に見ると，$\mathrm{△}OAP$ と $\mathrm{△}OBP$ は同じ底辺 $OP$ を持ち，高さはそれぞれ点 $A$，$B$ から直線 $OQ$ への距離である。点 $Q$ は $AB$ 上にあるので，これらの距離の比は $AQ:QB$ に等しい。したがって $AQ:QB=a:b$ である。

よって内分公式より$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OA}+a\overrightarrow{OB}}{a+b}}$$である。

(2) $$\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OQ}$$ とおく。点 $P$ は $Q$ に関して $O$ と反対側にあるので $\lambda >1$ である。$\mathrm{△}OAB$ の面積を $T$ とする。 $P$ を $OQ$ 方向に $\lambda$ 倍した位置に取ると，$\mathrm{△}OAP$ と $\mathrm{△}OBP$ の面積の和は $a+b=\lambda T$ である。一方，$P$ から直線 $AB$ への距離は，$O$ から $AB$ への距離の $\lambda -1$ 倍なので $c=(\lambda -1)T$ である。したがって $T=(a+b)-c=a+b-c$ であり，$$\lambda ={\displaystyle \frac{a+b}{a+b-c}}$$ となる。ゆえに(1)より$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{a+b}{a+b-c}}\cdot {\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OA}+a\overrightarrow{OB}}{a+b}}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OA}+a\overrightarrow{OB}}{a+b-c}}$$である。

(3)

点 $P$ を中心とし，3直線 $OA,OB,AB$ に接する円が存在するなら，$P$ からこれら3直線への距離はすべて等しい。その共通の距離を $r$ とする。

各三角形の面積は，対応する辺を底辺とすると$$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OA\cdot r,b={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OB\cdot r,c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot r$$である。$OA=3,OB=5,AB=6$ より $a:b:c=3:5:6$ である。これを(2)に代入すると$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{3+5-6}}={\displaystyle \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{2}}$$である。

$P$ は半直線 $OQ$ 上で $Q$ の外側にある。

$Q=(1-t)A+tB$，$P=\lambda Q$ と媒介し，各三角形の面積を行列式の倍率として表す。面積比から $t$ と $\lambda$ を直接決めるため，内分公式を先に使わずに位置ベクトルが得られる。

(1) $$\vec{u}=\overrightarrow{OA}$$，$$\vec{v}=\overrightarrow{OB}$$ とし，$$\overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec{u}+t\vec{v},\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OQ}$$とおく。ただし $0<t<1,\lambda >1$ である。三角形 $OAB$ の面積を $T$ とすると，行列式の倍率から$$a=\lambda tT,b=\lambda (1-t)T\mathrm{.}$$よって $t=a\mathrm{/}(a+b)$ であり，$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{b\vec{u}+a\vec{v}}{a+b}}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OA}+a\overrightarrow{OB}}{a+b}}\mathrm{.}$$(2) 上の2式から $a+b=\lambda T$ である。また，$P$ は $Q$ の外側にあるので$$c=(\lambda -1)T\mathrm{.}$$したがって $T=a+b-c$，$\lambda =(a+b)\mathrm{/}(a+b-c)$ である。(1)へ代入して$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{b\overrightarrow{OA}+a\overrightarrow{OB}}{a+b-c}}$$を得る。

(3) $P$ から3直線への共通距離を $r$ とすると$$a:b:c=OA:OB:AB=3:5:6.$$よって(2)に $a:b:c=3:5:6$ を代入すれば$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{3+5-6}}={\displaystyle \frac{5\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{2}}$$となる。