九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第1問

(1)

直線ABの方向ベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$$ である．直線AB上の点Cを $$C=A+u\overrightarrow{AB}=(2+u,6-2u)$$ とおく．$OC\perp AB$より $(2+u,6-2u)\cdot (1,-2)=0$ であるから $$2+u-12+4u=0,5u=10,u=2$$ である．したがって $C=(4,2)$ である．

また $$\overrightarrow{OP}=s(2,6)+t(3,4)=(2s+3t,6s+4t)$$ なので $P=(2s+3t,6s+4t)$ である．したがって $$\overrightarrow{CP}=(2s+3t-4,6s+4t-2)$$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(2s+3t-4{)}^2+(6s+4t-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =40s^2+60st-40s+25t^2-40t+20}\end{array}$$である．よって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2=40s^2+60st-40s+25t^2-40t+20$$ である．

(2)

sを定数として，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2$をtの二次関数と見る．整理すると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2=25t^2+(60s-40)t+40s^2-40s+20$$ である．頂点のt座標は $$t=-{\displaystyle \frac{60s-40}{2\cdot 25}}={\displaystyle \frac{4-6s}{5}}$$ である．

まず ${\displaystyle \frac{4-6s}{5}}\geqq 0$ すなわち$s\leqq 2\mathrm{/}3$のとき，頂点は条件$t\geqq 0$の範囲内にある．このとき最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 40s^2-40s+20-{\displaystyle \frac{(60s-40{)}^2}{4\cdot 25}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =40s^2-40s+20-(36s^2-48s+16)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4s^2+8s+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(s+1{)}^2}\end{array}$$である．

次に$s\geqq 2\mathrm{/}3$のとき，頂点は$t<0$側にある．したがって$t\geqq 0$では端点$t=0$で最小となり，最小値は $40s^2-40s+20$ である．

よって求める最小値は$$\{\begin{array}{ll}4(s+1{)}^2& (s\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}),\\ 40s^2-40s+20& (s\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}})\end{array}$$である．境界$s=2\mathrm{/}3$ではどちらも$100\mathrm{/}9$となり，一致している．

正射影で見る最短距離

垂線の足 $C$ を求めた後，$P-C=(sA-C)+tB$ と見る．固定したベクトル $sA-C$ に $tB$ を加えた長さの最小化は，$B$ 方向への正射影で処理できる．無制約の射影係数が $t\geqq 0$ を満たすかにより場合分けする．

(1) $$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$$ である．直線 $AB$ 上の点を$$A+u\overrightarrow{AB}=(2+u,6-2u)$$とおく．これが垂線の足 $C$ である条件は$$(2+u,6-2u)\cdot (1,-2)=0$$であり，$-10+5u=0$ から $u=2$ を得る．したがって$$C=(4,2)\mathrm{.}$$$P=sA+tB=(2s+3t,6s+4t)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(2s+3t-4{)}^2+(6s+4t-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =40s^2+25t^2+60st-40s-40t+20.}\end{array}$$(2)

$\vec{D}=sA-C=(2s-4,6s-2)$ とおくと$$\overrightarrow{CP}=\vec{D}+tB\mathrm{.}$$ここで$$\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}^2=25,\vec{D}\cdot B=30s-20.$$直線全体 $t\in \mathbb{R}$ 上での最小点は，$\vec{D}+tB$ が $B$ と直交するときだから$$t_{\ast }=-{\displaystyle \frac{\vec{D}\cdot B}{\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{4-6s}{5}}\mathrm{.}$$$s\leqq 2\mathrm{/}3$ のとき $t_{\ast }\geqq 0$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \min \mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{D}{\mathrm{\mid }}^2-{\displaystyle \frac{(\vec{D}\cdot B{)}^2}{\mathrm{\mid }B{\mathrm{\mid }}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4s^2+8s+4.}\end{array}$$$s>2\mathrm{/}3$ のとき $t_{\ast }<0$ なので，半直線 $t\geqq 0$ 上の最近点は端点 $t=0$ である．したがって$$\min \mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{D}{\mathrm{\mid }}^2=40s^2-40s+20.$$以上より$$\underset{t\geqq 0}{\min }\mathrm{\mid }CP{\mathrm{\mid }}^2=\{\begin{array}{ll}4s^2+8s+4& (s\leqq 2\mathrm{/}3),\\ 40s^2-40s+20& (s>2\mathrm{/}3)\end{array}$$である．