九州大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

$C$を原点のように見れば，$A=\vec{a},B=\vec{b}$ である。$P$は$AC$を$1:2$に内分するので$AP:PC=1:2$であり，$${\displaystyle P=\frac{2}{3}\vec{a}}$$ である。また，$Q$は$BC$を$2:3$に内分するので$BQ:QC=2:3$であり，$${\displaystyle Q=\frac{3}{5}\vec{b}}$$ である。

したがって$$\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{5}\vec{b}-\vec{a},\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}$$である。$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=12$，$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=5\sqrt{5}$を用いて二乗の差を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }AQ{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{3}{5}\vec{b}-\vec{a}\mid }^2-{\mid \frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-\frac{6}{5}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{9}{25}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)-(\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-\frac{4}{3}\vec{a}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(144-\frac{6}{5}\vec{a}\cdot \vec{b}+45)-(64-\frac{4}{3}\vec{a}\cdot \vec{b}+125)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{15}\vec{a}\cdot \vec{b}}\end{array}$$である。三角形$ABC$は鋭角三角形なので，特に$\mathrm{\angle }ACB$は鋭角であり，$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \mathrm{\angle }ACB>0$$ である。よって$\mathrm{\mid }AQ{\mathrm{\mid }}^2>\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2$であり，長さは正だから $\mathrm{\mid }AQ\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }$ である。

(2)

$E$は$AC$を$1-r:r$に内分するから $E=r\vec{a}$ である。同様に，$F$は$BC$を$1-r^n:r^n$に内分するから $F=r^n\vec{b}$ である。

$R$は直線$AF$上にあるので，ある実数$s$を用いて $$R=(1-s)\vec{a}+s{r}^n\vec{b}$$ と表せる。また，$R$は直線$BE$上にもあるので，ある実数$u$を用いて $R=(1-u)\vec{b}+ur\vec{a}$ と表せる。係数を比較すると $1-s=ur,s{r}^n=1-u$ である。第一式から$u=(1-s)\mathrm{/}r$であるから，第二式へ代入して $${\displaystyle s{r}^n=1-\frac{1-s}{r}=\frac{r-1+s}{r}}$$ を得る。したがって $${\displaystyle s(r^{n+1}-1)=r-1,s=\frac{r-1}{r^{n+1}-1}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{CR}=R}& {\displaystyle =(1-s)\vec{a}+s{r}^n\vec{b}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{r(r^n-1)}{r^{n+1}-1}\vec{a}+\frac{r^n(r-1)}{r^{n+1}-1}\vec{b}}\end{array}$$である。

(3)

(2) の係数をそれぞれ$r\to 1$で調べる。まず$$\frac{r(r^n-1)}{r^{n+1}-1}=r\frac{1+r+\cdots +r^{n-1}}{1+r+\cdots +r^n}⟶\frac{n}{n+1}$$である。また$$\frac{r^n(r-1)}{r^{n+1}-1}=\frac{r^n}{1+r+\cdots +r^n}⟶\frac{1}{n+1}$$である。したがって極限の点を$S$とすると $${\displaystyle \overrightarrow{CS}=\frac{n}{n+1}\vec{a}+\frac{1}{n+1}\vec{b}}$$ である。

これは $${\displaystyle S=A+\frac{1}{n+1}(B-A)}$$ を意味するので，$S$は辺$AB$上にあり $AS:SB=1:n$ を満たす点である。

2本の線分の交点

$E=r\vec{a},F=r^n\vec{b}$。重心座標比から $R=AF\cap BE$ を求める。

(1) は長さの二乗差を内積で評価する。(2) では三角形 $ABC$ における $E,F$ の内分比から、交点 $R$ の重心座標比を直接定める。(3) はその比の主要項だけを比較する。

(1)

$C$ を原点とすると$$A=\vec{a},B=\vec{b},P=\frac{2}{3}\vec{a},Q=\frac{3}{5}\vec{b}$$である。したがって$$\mathrm{\mid }AQ{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }BP{\mathrm{\mid }}^2=\frac{2}{15}\vec{a}\cdot \vec{b}>0$$である。最後の不等号は $\mathrm{\angle }ACB$ が鋭角であることによる。よって $\mathrm{\mid }AQ\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }$ である。

(2) $$\frac{CE}{EA}=\frac{r}{1-r},\frac{CF}{FB}=\frac{r^n}{1-r^n}$$である。$R=AF\cap BE$ の $A,B,C$ に関する重心座標を $(\alpha :\beta :\gamma )$ とすると、各中線上の比から$$\frac{\alpha }{\gamma }=\frac{r}{1-r},\frac{\beta }{\gamma }=\frac{r^n}{1-r^n}$$となる。よって$$\alpha :\beta :\gamma =\frac{r}{1-r}:\frac{r^n}{1-r^n}:1$$である。正規化すると$$\overrightarrow{CR}=\frac{r(1-r^n)}{1-r^{n+1}}\vec{a}+\frac{r^n(1-r)}{1-r^{n+1}}\vec{b}$$を得る。

(3)

$r\to 1$ では$$\frac{r}{1-r}:\frac{r^n}{1-r^n}:1\sim \frac{1}{1-r}:\frac{1}{n(1-r)}:1$$である。したがって極限では $C$ の重みが消え、$$\alpha :\beta =n:1$$となる。ゆえに$$\overrightarrow{CS}=\frac{n}{n+1}\vec{a}+\frac{1}{n+1}\vec{b},AS:SB=1:n$$である。