九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第2問

(1)

全カード枚数は$M+N$である．1回だけ取り出すとき，記録された和が偶数になるのは偶数が書かれたカードを引くときである．したがって $$p_1={\displaystyle \frac{M}{M+N}}$$ である．

2回取り出すとき，和が偶数になるのは，偶数を2回引く場合，または奇数を2回引く場合である．毎回カードは戻すので各回は同じ確率であり，$$p_2={\displaystyle \frac{M^2+N^2}{(M+N{)}^2}}$$ である．

(2) $n$回までの和が偶数で，$n+1$回目に偶数カードを引けば，和は偶数のままである．また，$n$回までの和が奇数で，$n+1$回目に奇数カードを引けば，和は偶数になる．したがって $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{M}{M+N}}{p}_n+{\displaystyle \frac{N}{M+N}}(1-p_n)$$ である．

(3) $k$が偶数の場合，$k=2m$とおく．偶数が書かれたカードの枚数は $$M=2+4+\cdots +2m=2\cdot {\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}=m(m+1)$$ であり，奇数が書かれたカードの枚数は $N=1+3+\cdots +(2m-1)=m^2$ である．よって$${\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}={\displaystyle \frac{m}{m(m+1)+m^2}}={\displaystyle \frac{1}{2m+1}}={\displaystyle \frac{1}{k+1}}$$である． $k$が奇数の場合，$k=2m-1$とおく．偶数が書かれたカードの枚数は $$M=2+4+\cdots +2(m-1)=m(m-1)$$ であり，奇数が書かれたカードの枚数は $N=1+3+\cdots +(2m-1)=m^2$ である．したがって$${\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}={\displaystyle \frac{-m}{m(m-1)+m^2}}={\displaystyle \frac{-1}{2m-1}}=-{\displaystyle \frac{1}{k}}$$である．

(4)

(2) を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{N}{M+N}}+{\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}{p}_n}\end{array}$$である．両辺から$1\mathrm{/}2$を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}(p_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}\end{array}$$となる．

0回の記録では和は0で偶数だから，$p_0=1$と考えることができる．したがって $p_0-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり，$$p_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}\right)}^n$$ である．よって $$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}\right)}^n$$ である．

(3) の結果を代入して$$p_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{k+1}}\right)}^n}& (k\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(-{\displaystyle \frac{1}{k}})}^n}& (k\text{ が奇数})\end{array}$$である．

各回に偶数カードを引いたら $+1$，奇数カードを引いたら $-1$ となる変数を対応させる．その積が $+1$ であることと，記録和が偶数であることは同値である．積の平均を独立性から計算すると，$2p_n-1$ を直接求められる．

(1)

偶数カードを引く確率を$$u={\displaystyle \frac{M}{M+N}},\text{奇数カードを引く確率を }v={\displaystyle \frac{N}{M+N}}$$とする．1回では$$p_1=u={\displaystyle \frac{M}{M+N}}\mathrm{.}$$2回の和が偶数であるのは偶数2回または奇数2回だから$$p_2=u^2+v^2={\displaystyle \frac{M^2+N^2}{(M+N{)}^2}}\mathrm{.}$$(2)

$n$回までの和が偶数で次に偶数を引く場合と，奇数で次に奇数を引く場合を加えて$$p_{n+1}=u{p}_n+v(1-p_n)$$である．

(3)

$k=2m$ のとき$$M=2+4+\cdots +2m=m(m+1),N=1+3+\cdots +(2m-1)=m^2$$だから$${\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}={\displaystyle \frac{1}{k+1}}\mathrm{.}$$$k=2m-1$ のとき$$M=m(m-1),N=m^2$$だから$${\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}=-{\displaystyle \frac{1}{k}}\mathrm{.}$$(4)

$i$ 回目に偶数カードを引いたら $E_i=1$，奇数カードを引いたら $E_i=-1$ とする．積$$E_1{E}_2\cdots E_n$$は，奇数カードを引いた回数が偶数，すなわち記録和が偶数のとき $1$，それ以外では $-1$ である．したがってこの積の平均は$$p_n-(1-p_n)=2p_n-1.$$一方，各回は独立で$$E_i\text{ の平均}=u-v={\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}$$だから，積の平均は$${\left({\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}\right)}^n$$である．よって$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{M-N}{M+N}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)を代入すると$$p_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{1}{k+1}}\right)}^n& (k\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(-{\displaystyle \frac{1}{k}})}^n& (k\text{ が奇数})\end{array}$$である．