九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。条件 $$4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\vec{0}$$ より $4\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ である。 $M$ は辺 $BC$ の中点なので $$\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$$ である。したがって $$\overrightarrow{OM}=\frac{4\vec{a}}{2}=2\vec{a}=2\overrightarrow{OA}$$ となる。よって $O,A,M$ は一直線上にあり、しかも $OA=AM$ であるから、点 $A$ は線分 $OM$ の中点である。

回転・平行移動して $$M=(0,0),A=(1,0),O=(2,0)$$ とした代表図。

(2)

三角形 $ABC$ は直角三角形で、斜辺 $BC$ の長さは2である。斜辺の中点 $M$ は3頂点 $A,B,C$ から等距離にあるので $$AM=BM=CM=\frac{BC}{2}=1$$ である。

(1) より $A$ は $OM$ の中点であるから $OA=AM=1,OM=2$ である。ここで中線公式を点 $O$、2点 $B,C$ とその中点 $M$ に対して用いると $O{B}^2+O{C}^2=2O{M}^2+2B{M}^2$ である。したがって $$O{B}^2+O{C}^2=2\cdot 2^2+2\cdot 1^2=8+2=10$$ である。

(3) $$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$$ とおく。与えられた左辺を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 4\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{a}+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2)-(\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)-(\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{c}+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot (4\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})+4\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}}\end{array}$$条件より $$4\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$$ なので、一次の項は消える。また (2) と $OA=1$ より $$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=1,\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=10$$ である。したがって左辺は $$2\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2+4-10=2\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-6$$ である。

これが $-4$ に等しいので $2\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-6=-4$ すなわち $\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2=1$ である。よって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=1$$ である。

(1) で中点関係を得たあと、$M$ を原点、直線 $MO$ を $x$ 軸に取る。直角三角形の斜辺の中点という性質から $A,B,C$ を単位円上に置き、$B,C$ を対蹠点として座標計算する。最後は与式を展開し、$O{P}^2$ が直接現れる形へ整理する。

(1) $$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$ とおく。条件から $4\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ である。一方、$M$ は $BC$ の中点なので$$\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=2\vec{a}=2\overrightarrow{OA}\mathrm{.}$$したがって $O,A,M$ はこの順に一直線上にあり、$OA=AM$ である。よって $A$ は線分 $OM$ の中点である。

(2)

直角三角形の斜辺 $BC$ の中点 $M$ は外心であるから$$MA=MB=MC=\frac{BC}{2}=1.$$平行移動と回転によって$$M=(0,0),A=(1,0),O=(2,0)$$としてよい。$B,C$ は中心 $M$、半径1の円の直径の両端なので、ある実数 $\theta$ を用いて$$B=(\cos \theta ,\sin \theta ),C=(-\cos \theta ,-\sin \theta )$$と表せる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{B}^2}& {\displaystyle =(\cos \theta -2{)}^2+{\sin }^2\theta =5-4\cos \theta ,}\\ {\displaystyle O{C}^2}& {\displaystyle =(-\cos \theta -2{)}^2+{\sin }^2\theta =5+4\cos \theta \mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$O{B}^2+O{C}^2=10.$$(3)

$P=(u,v)$ とおく。上の座標を用いると$$P{A}^2=(u-1{)}^2+v^2$$であり、また $B,C$ が原点に関する対称点であることから$$P{B}^2+P{C}^2=2(u^2+v^2)+2$$である。よって与式の左辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4P{A}^2-P{B}^2-P{C}^2}& {\displaystyle =4\{(u-1{)}^2+v^2\}-2(u^2+v^2)-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2u^2+2v^2-8u+2.}\end{array}$$これが $-4$ に等しいので$$u^2+v^2-4u+3=0.$$一方、$O=(2,0)$ であるから$$O{P}^2=(u-2{)}^2+v^2=u^2+v^2-4u+4=1.$$したがって $OP=1$ である。