九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

球面の中心を $D=(x,y,z)$ とおく。$D$ は4点 $O,A,B,C$ から等距離にあるので $D{O}^2=D{A}^2=D{B}^2=D{C}^2$ である。

まず $D{O}^2=D{A}^2$ より $$x^2+y^2+z^2=x^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2$$ である。整理して $4y+6z=13$ を得る。同様に $D{O}^2=D{B}^2$ より $$x^2+y^2+z^2=(x-1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2$$ なので $2x+6z=10$ である。また $D{O}^2=D{C}^2$ より $$x^2+y^2+z^2=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2$$ だから $2x+4y=5$ である。

連立方程式$$\{\begin{array}{l}4y+6z=13,\\ 2x+6z=10,\\ 2x+4y=5\end{array}$$を解くと $$x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}$$ である。したがって $D(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})$ である。

(2)

3点 $A(0,2,3),B(1,0,3),C(1,2,0)$ を通る平面を $lx+my+nz=d$ とおく。3点を代入して整理すると、平面 $ABC$ の方程式は $6x+3y+2z=12$ である。実際、$A,B,C$ はいずれもこの式を満たす。

点 $D(1\mathrm{/}2,1,3\mathrm{/}2)$ からこの平面までの距離が $DF$ であるから$$DF=\frac{\mathrm{\mid }6\cdot \frac{1}{2}+3\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}-12\mathrm{\mid }}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{\mathrm{\mid }3+3+3-12\mathrm{\mid }}{7}=\frac{3}{7}$$である。

四面体 $ABCD$ を底面 $ABC$、高さ $DF$ と見る。

(3) $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,0),\overrightarrow{AC}=C-A=(1,0,-3)$$である。したがって $$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2=1^2+(-2{)}^2=5,\mathrm{\mid }AC{\mathrm{\mid }}^2=1^2+(-3{)}^2=10$$ であり、$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1$$ である。よって三角形 $ABC$ の面積は$$[\mathrm{△}ABC]=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }AC{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 10-1}=\frac{7}{2}$$である。

四面体 $ABCD$ の底面を $ABC$、高さを $DF$ と見ると、体積は$$\frac{1}{3}[\mathrm{△}ABC]\cdot DF=\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{3}{7}=\frac{1}{2}$$である。

球面を一般形で置くと、4点を代入するだけで中心が得られる。平面の法線ベクトルは外積に相当する成分計算で求め、最後は底面積と高さを別々に出さず、3本の辺ベクトルが作る平行六面体の体積から四面体の体積を直接求める。

(1)

原点 $O$ を通る球面の方程式を$$x^2+y^2+z^2+ux+vy+wz=0$$とおく。点 $A,B,C$ を順に代入すると$$\{\begin{array}{l}13+2v+3w=0,\\ 10+u+3w=0,\\ 5+u+2v=0\end{array}$$を得る。これを解くと$$u=-1,v=-2,w=-3.$$平方完成すれば球面の中心は$$D=(-\frac{u}{2},-\frac{v}{2},-\frac{w}{2})=(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2})$$である。

(2) $$\overrightarrow{AB}=(1,-2,0),\overrightarrow{AC}=(1,0,-3)$$の両方に垂直なベクトルとして $(6,3,2)$ を取れる。したがって平面 $ABC$ は$$6x+3y+2z=12$$である。点 $D$ からこの平面までの距離は$$DF=\frac{\mid 6\cdot \frac{1}{2}+3\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}-12\mid }{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{3}{7}$$となる。

(3) $$\overrightarrow{AD}=(\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2})$$である。$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ が張る平行四辺形の有向面積ベクトルは $(6,3,2)$ なので、3本のベクトルが作る平行六面体の体積は$$\mid (6,3,2)\cdot (\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2})\mid =\mathrm{\mid }3-3-3\mathrm{\mid }=3$$である。四面体の体積はその $1\mathrm{/}6$ だから$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$である。