九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 楕円は$$x=-2+4\cos \theta ,y=1+2\sin \theta$$と表せる。直線 $y=x+a$ との交点では$$a=y-x=3+2\sin \theta -4\cos \theta$$である。$2\sin \theta -4\cos \theta$ の振幅は $2\sqrt{5}$ だから$$3-2\sqrt{5}\leqq a\leqq 3+2\sqrt{5}$$である。

(2) 各象限で絶対値を外すと、$$x+y=1,-x+y=1,-x-y=1,x-y=1$$の各線分になる。したがって ((1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)) を頂点とするひし形である。

(3) まず最大値を求める。任意の点で$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=\max \{x+y,x-y,-x+y,-x-y\}$$である。楕円上で $ux+vy$ の最大値は、媒介変数表示から$$-2u+v+\sqrt{(4u{)}^2+(2v{)}^2}$$である。$u,v\in \{1,-1\}$ を代入すると最大は $u=-1,v=1$ のときで、$$\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })=3+2\sqrt{5}$$となる。等号には$$\cos \theta =-\frac{2}{\sqrt{5}},\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$$が必要だから、その点は$$(-2-\frac{8\sqrt{5}}{5},1+\frac{2\sqrt{5}}{5})$$である。この点は第2象限にあり、実際に $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=-x+y$ となる。

次に最小値を求める。楕円を表す2次式を$$F(x,y)=\frac{(x+2{)}^2}{16}+\frac{(y-1{)}^2}{4}$$とおく。$c=\sqrt{3}-1$ とし、ひし形$$D_c=\{(x,y):\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq c\}$$を考える。$F$ は凸な2次式なので、ひし形上の最大値は4頂点のいずれかでとる。各頂点で調べると$$\begin{array}{cc}\text{頂点}& F(x,y)\\ (c,0)& {\displaystyle \frac{(c+2{)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}<1\\ (-c,0)& {\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}<1\\ (0,c)& {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{(c-1{)}^2}{4}}<1\\ (0,-c)& {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{(c+1{)}^2}{4}}=1\end{array}$$である。最後の等号では $c+1=\sqrt{3}$ を使った。よって $D_c$ は楕円の内部に含まれ、その境界は $(0,-c)=(0,1-\sqrt{3})$ で楕円に接する。したがって楕円上では$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq c=\sqrt{3}-1$$であり、最小値は $\sqrt{3}-1$、その点は $(0,1-\sqrt{3})$ である。

位置関係は次図のようになる。青い小ひし形が最小値、橙色の接線が最大値に対応する。