Evolton
方針
(1) は放物線の定義そのもので、点 とおき、垂線の足 との距離と焦点 との距離を等置する。(2) は直線と放物線を連立し、判別式が常に正であることから2交点を求める。(3) は放物線の接線の傾き を使う。(4) は2接線の交点の 座標が2交点の 座標の平均になることを計算し、相対座標 で弦と放物線の差が偶関数になることから面積比を出す。
解答
(1)
点 の座標を とおく。線分 が 軸と平行で、 は直線 上にあるので である。したがって である。求める点では であり、 だから である。よって である。両辺は非負であり、2乗して を得る。展開すると であり、 である。したがって軌跡 は である。
(2)
直線 と を連立すると である。両辺を6倍して すなわち を得る。この2次方程式の判別式は であるから、任意の実数 に対して2つの異なる実数解をもつ。
解の公式より である。 座標が小さい方を 、大きい方を とするので、 である。
(3) であるから、 上の点の 座標を とすると、その点における接線の傾きは である。
点 の 座標は であるから、接線 の傾きは である。点 における接線 の傾きは である。これらの積は である。したがって接線 は互いに垂直である。
(4)
放物線 の における接線は である。 の 座標をそれぞれ とする。2本の接線の交点の 座標はを解けばよい。 なので、 より である。
ここで なので である。したがって直線 は である。
また、線分 は直線 上の線分であり、 の 座標は をはさんでいる。したがって は線分 と、端点ではない点で交わる。
次に面積比を求める。 とおく。直線 と放物線 の差はである。これは の偶関数である。さらに交点は に対応する。したがって、直線 の左側の面積と右側の面積は であり、被積分関数が偶関数で積分区間が左右対称なので である。よって求める比は である。
形を確認するため、代表として の場合を描く。一般の でも、 を中心に同じ左右対称の形になる。
総評
難度7、計算量6。目安時間は28分。放物線の定義、直線との交点、接線、面積比が連続して出る総合問題である。(1) では が鉛直なので と置けることが入口になる。(3) は接線の傾きの積が になることを示せばよい。(4) では2接線の交点の 座標が弦の中点の 座標 になることを計算で示す。面積比は図形的な左右対称ではなく、 で見たときの「直線−放物線」が偶関数になることから厳密に説明するとよい。 の代表図で弦・2接線・左右面積の対称性を可視化した。