九州大学 2018年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

座標空間において， $x y$ 平面上にある双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ のうち $x ≧ 1$ を満たす部分を $C$ とする。また， $z$ 軸上の点 $A (0, 0, 1)$ を考える。点 $P$ が $C$ 上を動くとき，直線 $A P$ と平面 $x = d$ との交点の軌跡を求めよ。ただし， $d$ は正の定数とする。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

解法1

双曲線上の点を $P = (u, v, 0)$ と置き、直線 $A P$ を媒介変数表示する。平面 $x = d$ との交点 $(d, Y, Z)$ から $u, v$ を消去し、最後に $u ≧ 1$ が与える端点条件を戻す。

解法2

傾きに相当する比 $k = v / u$ を媒介変数にする。双曲線の条件から $- 1 < k < 1$ と $1/ u = 1 - k^{2}$ を得て、交点を円の標準的な媒介表示へ直す。

解答

解法1

双曲線 $C$ 上の点を

P = (u, v, 0), u^{2} - v^{2} = 1, u ≧ 1

と置く。直線 $A P$ 上の点は

(0, 0, 1) + λ (u, v, - 1)

と表せる。平面 $x = d$ との交点では $λ u = d$ だから $λ = d / u$ である。交点を $(d, Y, Z)$ と書くと

Y = \frac{d v}{u}, Z = 1 - \frac{d}{u}

となる。

ここで

\frac{v ^{2}}{u ^{2}} = 1 - \frac{1}{u ^{2}}, \frac{d}{u} = 1 - Z

なので

Y^{2} = d^{2} - (1 - Z)^{2}

すなわち

Y^{2} + (Z - 1)^{2} = d^{2}

を得る。また $u ≧ 1$ より

1 - d ≦ Z < 1

である。 $u = 1$ に対応する点 $(d, 0, 1 - d)$ は含まれ、 $u \to \infty$ に対応する $Z = 1$ 上の2点は含まれない。

したがって軌跡は、平面 $x = d$ 上で中心 $(d, 0, 1)$ 、半径 $d$ の円のうち

1 - d ≦ Z < 1

を満たす下半円弧である。

解法2

k = \frac{v}{u}

と置く。 $u^{2} - v^{2} = 1$ 、 $u ≧ 1$ から

- 1 < k < 1, \frac{1}{u} = 1 - k^{2}

である。直線 $A P$ と平面 $x = d$ の交点を $(d, Y, Z)$ とすると、解法1と同様に

Y = \frac{d v}{u} = d k, Z = 1 - \frac{d}{u} = 1 - d 1 - k^{2}

となる。したがって

Y^{2} + (Z - 1)^{2} = d^{2} k^{2} + d^{2} (1 - k^{2}) = d^{2}

である。

$k$ が $- 1$ から $1$ まで動くと、交点は次の下半円弧を動く。

$k = 0$ の下端は含まれる。一方、 $k = \pm 1$ は取れないので、直径の両端は含まれない。元の座標に戻すと、求める軌跡は

x = d, Y^{2} + (Z - 1)^{2} = d^{2}, 1 - d ≦ Z < 1

である。

九州大学 2018年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

九州大学 2018年度
理系数学前期第1問