九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

双曲線 $C$ 上の点を$$P=(u,v,0),u^2-v^2=1,u\geqq 1$$と置く。直線 $AP$ 上の点は$$(0,0,1)+\lambda (u,v,-1)$$と表せる。平面 $x=d$ との交点では $\lambda u=d$ だから $\lambda =d\mathrm{/}u$ である。交点を $(d,Y,Z)$ と書くと$$Y=\frac{dv}{u},Z=1-\frac{d}{u}$$となる。

ここで$$\frac{v^2}{u^2}=1-\frac{1}{u^2},\frac{d}{u}=1-Z$$なので$$Y^2=d^2-(1-Z{)}^2$$すなわち$$Y^2+(Z-1{)}^2=d^2$$を得る。また $u\geqq 1$ より$$1-d\leqq Z<1$$である。$u=1$ に対応する点 $(d,0,1-d)$ は含まれ、$u\to \mathrm{\infty }$ に対応する $Z=1$ 上の2点は含まれない。

したがって軌跡は、平面 $x=d$ 上で中心 $(d,0,1)$、半径 $d$ の円のうち$$1-d\leqq Z<1$$を満たす下半円弧である。

傾きに相当する比 $k=v\mathrm{/}u$ を媒介変数にする。双曲線の条件から $-1<k<1$ と $1\mathrm{/}u=\sqrt{1-k^2}$ を得て、交点を円の標準的な媒介表示へ直す。

$$k=\frac{v}{u}$$と置く。$u^2-v^2=1$、$u\geqq 1$ から$$-1<k<1,\frac{1}{u}=\sqrt{1-k^2}$$である。直線 $AP$ と平面 $x=d$ の交点を $(d,Y,Z)$ とすると、解法1と同様に$$Y=\frac{dv}{u}=dk,Z=1-\frac{d}{u}=1-d\sqrt{1-k^2}$$となる。したがって$$Y^2+(Z-1{)}^2=d^2{k}^2+d^2(1-k^2)=d^2$$である。

$k$ が $-1$ から $1$ まで動くと、交点は次の下半円弧を動く。

$k=0$ の下端は含まれる。一方、$k=\pm 1$ は取れないので、直径の両端は含まれない。元の座標に戻すと、求める軌跡は$$x=d,Y^2+(Z-1{)}^2=d^2,1-d\leqq Z<1$$である。