九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
円 $C$ の中心は $(1,1)$、半径は $\sqrt{2}$ である。直線 $y=x-2$ を $x-y-2=0$ と書くと、中心 $(1,1)$ からこの直線までの距離は $$\frac{\mathrm{\mid }1-1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{2}$$ である。これは半径に等しいので、直線 $y=x-2$ は円 $C$ に接する。

接点は中心から直線へ下ろした垂線の足である。直線 $y=x-2$ に垂直で中心を通る直線は $y-1=-(x-1)$ すなわち $y=-x+2$ である。これを $y=x-2$ と連立すると $x=2,y=0$ である。したがって接点は $(2,0)$ である。

(2)
放物線 $y=\frac{1}{4}{x}^2-1$ を円の式に代入する。 $$(x-1{)}^2+{(\frac{1}{4}{x}^2-2)}^2=2$$ である。両辺を16倍して整理すると $x^4-32x+48=0$ となる。これは $$x^4-32x+48=(x-2{)}^2(x^2+4x+12)$$ と因数分解できる。$x^2+4x+12$ は判別式 $$4^2-4\cdot 1\cdot 12=-32<0$$ なので実数解をもたない。よって共有点の $x$ 座標は $x=2$ のみであり、そのとき $y=\frac{1}{4}\cdot 4-1=0$ である。したがって共有点は $(2,0)$ だけである。

(3)
領域は $y$ 軸に関して対称であるから、右半分の面積を求めて2倍する。 $x\geqq 0$ では、領域 $B$ は円 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\leqq 2$ である。$0\leqq x\leqq 2$ では、$A$ と $B$ がつながっており、$D$ との共通部分の下側は放物線 $y=\frac{1}{4}{x}^2-1$ 上側は円 $B$ の上側 $$y=1+\sqrt{2-(x-1{)}^2}$$ である。したがってこの部分の面積は ${\int }_0^2\{1+\sqrt{2-(x-1{)}^2}-(\frac{1}{4}{x}^2-1)\}dx$ である。

また $2\leqq x\leqq 1+\sqrt{2}$ では、円 $B$ の縦断面全体が放物線の上にあるので、面積は ${\int }_2^{1+\sqrt{2}}2\sqrt{2-(x-1{)}^2}dx$ である。

よって求める面積 $S$ は$$S=2\{{\int }_0^2(2-\frac{x^2}{4}+\sqrt{2-(x-1{)}^2})dx+{\int }_2^{1+\sqrt{2}}2\sqrt{2-(x-1{)}^2}dx\}$$である。ここで $u=x-1$ とおくと、円弧部分は半径 $\sqrt{2}$ の円の面積で計算できる。実際に積分を整理すると $${\int }_0^2(2-\frac{x^2}{4})dx=\frac{10}{3}$$ であり、2つの円弧積分を合わせた右半分の円弧部分は $\pi$ になる。
したがって右半分の面積は $\frac{10}{3}+\pi$ であり、全体の面積は $\frac{20}{3}+2\pi$ である。

青色部分が $D\cap E$ であり、境界を含む。橙色は
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=2$、緑色は $(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$、青い曲線は放物線を表す。