九州大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$ とおく。楕円の焦点は $(\pm c,0)$ であり、$x$ 座標が小さい方の焦点は $F=(-c,0)$ である。

この $F$ を極とし、$x$ 軸正方向を始線とする極座標で点を表すと $$x=-c+r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ である。また、右の焦点を $F^{\mathrm{\prime }}=(c,0)$ とする。楕円上の点では $PF+P{F}^{\mathrm{\prime }}=2a$ であり、$PF=r$ だから $P{F}^{\mathrm{\prime }}=2a-r$ である。

一方、座標から$$P{F}^{\mathrm{\prime }2}=(-c+r\cos \theta -c{)}^2+(r\sin \theta {)}^2=(r\cos \theta -2c{)}^2+r^2{\sin }^2\theta$$である。したがって $$(2a-r{)}^2=r^2-4cr\cos \theta +4c^2$$ である。展開して $r^2$ を消すと $$4a^2-4ar=-4cr\cos \theta +4c^2$$ であり、4で割って整理すると $$r(a-c\cos \theta )=a^2-c^2$$ である。$a^2-c^2=b^2$ だから $$r=f(\theta )=\frac{b^2}{a-c\cos \theta }$$ である。

左：焦点 $F$ を極とする表示。右：中心 $O$ から互いに直交する2方向。

(2)

原点から楕円上の点へ向かう方向角を $\varphi$ とし、その点までの距離を $r$ とする。この点の座標は $$(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$$ である。楕円の方程式 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ に代入すると $$\frac{r^2{\cos }^2\varphi }{a^2}+\frac{r^2{\sin }^2\varphi }{b^2}=1$$ である。よって $$\frac{1}{r^2}=\frac{{\cos }^2\varphi }{a^2}+\frac{{\sin }^2\varphi }{b^2}$$ である。

2本の線分 $O{P}_1,O{P}_2$ が直交するなら、対応する方向角は $\varphi$ と $\varphi +\pi \mathrm{/}2$ としてよい。したがって $$\frac{1}{r_1^2}=\frac{{\cos }^2\varphi }{a^2}+\frac{{\sin }^2\varphi }{b^2}$$ であり、$$\frac{1}{r_2^2}=\frac{{\cos }^2(\varphi +\pi \mathrm{/}2)}{a^2}+\frac{{\sin }^2(\varphi +\pi \mathrm{/}2)}{b^2}=\frac{{\sin }^2\varphi }{a^2}+\frac{{\cos }^2\varphi }{b^2}$$である。これらを足すと$$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}=\frac{{\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi }{a^2}+\frac{{\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi }{b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$である。これは $P_1,P_2$ の位置によらない定数である。