九大 2016年度文系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

まず $10^{n + 1} = 10 \cdot 10^{n}$ を使い、余りを次々に出す仕組みを証明する。6桁の数は $A 2016 B = 100000 A + 20160 + B$ と表せるので、(2)で求めた $10^{5}$ の余りと $20160$ の余りを使って、 $A$ と $B$ の合同条件に落とし込む。最後は $A = 1, 2, \dots, 9$ を調べ、 $0 ≦ B ≦ 9$ を満たすものだけを残す。

解答

(1)

$10^{n}$ を13で割った商を $q$ 、余りを $a_{n}$ とすると $10^{n} = 13 q + a_{n}$ と書ける。両辺を10倍して $10^{n + 1} = 13 (10 q) + 10 a_{n}$ となる。したがって $10^{n + 1}$ を13で割った余りは、 $10 a_{n}$ を13で割った余りに等しい。よって $a_{n + 1}$ は $10 a_{n}$ を13で割った余りである。

(2)

(1) を順に用いる。 $a_{1} = 10$ であり、 $10 a_{1} = 100 \equiv 9, 10 a_{2} = 90 \equiv 12, 10 a_{3} = 120 \equiv 3 (m o d 13)$ さらに $10 a_{4} = 30 \equiv 4, 10 a_{5} = 40 \equiv 1 (m o d 13)$ である。したがって $a_{1} = 10, a_{2} = 9, a_{3} = 12, a_{4} = 3, a_{5} = 4, a_{6} = 1$ である。

(3)

条件(i)(ii)より、 $N$ は $N = A 2016 B = 100000 A + 20160 + B$ と書ける。ただし $A$ は1から9までの整数、 $B$ は0から9までの整数である。

(2) より $10^{5}$ を13で割った余りは $a_{5} = 4$ である。また $20160 = 13 \cdot 1550 + 10$ であるから、 $N$ が13で割り切れる条件は $4 A + 10 + B \equiv 0 (m o d 13)$ すなわち $B \equiv 3 - 4 A (m o d 13)$ である。

$A = 1, 2, \dots, 9$ について、 $0 ≦ B ≦ 9$ を満たすものを調べると $\begin{array}{cccccccccc} A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 - 4 A (m o d 13) & 12 & 8 & 4 & 0 & 9 & 5 & 1 & 10 & 6 \end{array}$ である。よって許される組は $(A, B) = (2, 8), (3, 4), (4, 0), (5, 9), (6, 5), (7, 1), (9, 6)$ である。したがって求める自然数は $220168, 320164, 420160, 520169, 620165, 720161, 920166$ である。

別解

解法2

方針

合同式だけで処理する。余りの列は $10 \equiv - 3 (m o d 13)$ から順に作る。(3)では先頭桁を $A$ ，末尾桁を $B$ とし， $4 A + B$ の取り得る範囲を使って，合同式を3本の通常の一次方程式へ変える。

解答

(1) $10^{n} \equiv a_{n} (m o d 13)$ の両辺を10倍すると $10^{n + 1} \equiv 10 a_{n} (m o d 13) .$ $a_{n + 1}$ は $0, 1, \dots, 12$ のうちこの合同式を満たす唯一の数だから， $10 a_{n}$ を13で割った余りに等しい。

(2)
$10 \equiv - 3 (m o d 13)$ から順に掛けると $\begin{aligned} 10^{1} & \equiv 10, & 10^{2} & \equiv 9, & 10^{3} & \equiv 12, \\ 10^{4} & \equiv 3, & 10^{5} & \equiv 4, & 10^{6} & \equiv 1 (m o d 13) . \end{aligned}$ したがって $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}) = (10, 9, 12, 3, 4, 1)$ である。

(3)
条件(i)(ii)を満たす数を $N = A 2016 B = 100000 A + 20160 + B$ と書く。ただし $1 ≦ A ≦ 9, 0 ≦ B ≦ 9$ である。(2)より $100000 \equiv 4, 20160 \equiv 10 (m o d 13)$ だから $N \equiv 4 A + B + 10 (m o d 13) .$ よって $N$ が13の倍数である条件は $\begin{matrix} 4 A + B \equiv 3 (m o d 13) . & (1) \end{matrix}$ 一方 $4 ≦ 4 A + B ≦ 45$ である。この範囲で(1)を満たす数は $16, 29, 42$ だけである。それぞれについて $0 ≦ B ≦ 9$ を満たす解を求めると $\begin{array}{cc} 4 A + B & (A, B) \\ 16 & (2, 8), (3, 4), (4, 0) \\ 29 & (5, 9), (6, 5), (7, 1) \\ 42 & (9, 6) \end{array}$ となる。したがって求める自然数は $220168, 320164, 420160, 520169, 620165, 720161, 920166$ である。

総評

難度4、計算量4。13での余りの周期と、6桁整数の表し方を結びつける整数問題である。目安時間は10分程度。(1)(2)を丁寧に書けば、(3)は $A$ と $B$ の1次合同式になる。誤りやすいのは、 $A 2016 B$ を $100000 A + 20160 + B$ と表すところ、また $B$ が1桁の数字なので $0$ も許される一方で $10, 12$ は許されないところである。表を作って候補を削ると、最後の列挙が安定する。

出典: 九州大学 2016年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

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九州大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系数学第4問