Evolton
方針
赤・青・白の出た回数を とおくと、 かつ到達点は で表せる。この表現で(1)(2)は個数問題になり、(3)(4)は ， を満たす回数の組を探す問題になる。確率は、各色の確率 と多項係数で計算する。
解答
赤玉、青玉、白玉を取り出した回数をそれぞれ とする。各操作で赤は 、青は 、白は だけ動かすので、 回後の到達点は である。また である。各色の確率はである。
(1)
白玉を1度だけ取り出したので であり、 である。このとき到達点は である。 と動かすと であるから、到達点は である。
(2)
白玉を 回取り出したとする。このとき であり、到達点は である。 を固定すると と動かせるので、到達点は 個ある。
さらにこのとき である。 が異なると右辺 が異なるため、異なる から同じ到達点が重複して数えられることはない。したがって到達点の個数は である。
(3)
のとき、正方形 の内部または辺上にある条件は である。 を満たす非負整数の組を調べると、この条件を満たすのは である。それぞれの確率は である。よって である。
(4)
とする。正方形 内にある条件は である。そこで とおくと、 はそれぞれ のいずれかである。また だから、 は3の倍数でなければならない。ところが は 以上 以下なので、結局 である。したがって可能な組は の3つだけである。
まず の確率はである。 の確率はこの確率の 倍であり、 の確率はこの確率の 倍である。したがってであり、括弧内を整理して を得る。
別解
解法2
方針
形式的な2文字 を用い，赤・青・白の1回の移動をそれぞれ で表す。 乗を展開した単項式の指数が到達点，係数がその到達確率になる。この表示で到達点の個数と，正方形内に入る項を一つの枠組みで数える。
解答
1回の操作を表す式をとする。赤を 回，青を 回，白を 回選んだ項は を含む。したがって の指数が到達点，その係数が到達確率を表す。
(1)
なら である。 に対する指数は だから，到達点はである。
(2)
を固定すると なので，単項式は 個ある。また各単項式の指数 はを満たす。異なる では(1)の右辺が異なるため重複はない。よって到達点の総数はである。
(3)
で正方形 内にある格子点は を満たす。(1)より は3の倍数であり， だからでなければならない。該当する回数はである。したがって(4)
のときも同じ議論により正方形内で を満たす格子点は だけなので，回数の組はに限る。
に対応する係数をとおく。他の2項はそれぞれである。ゆえに
総評
難度6、計算量6。操作の履歴を色の回数 に置き換えられるかが勝負である。目安時間は20分程度。(2)では ごとに直線 が変わるため重複しない、という確認が得点上重要である。(4)は正方形内の条件を の範囲に直すと、 という回数設定の意味が見える。多項係数の比を使うと計算が短くなるが、赤・青・白の確率がそれぞれ異なるため、単なる個数比だけで処理しないことに注意したい。