問題
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数がをみたすとき、が成り立つことを示せ。
(2) をみたす自然数の組をすべて求めよ。
(3) をみたす自然数の組をすべて求めよ。
出典：九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系・理系 第3問
方針
解法1（階乗の間にc!を挟む方法）
(1)はを連続する整数の積にする。(2)では右辺が大きいことからを示して(1)を適用する。(3)は対称性からとし、ならが従うことを利用する。するととなり、(1)をへ適用するだけで矛盾する。
解法2（cとbの大小による別解）
(1),(2)は解法1と同様に処理する。(3)はとし、の場合にの三つへ分ける。各場合でとの大小を直接比較し、どの位置にもが存在できないことを示す。
解答
解法1（階乗の間にc!を挟む方法）
(1)
より
である。以外の因子は、存在すればすべて以上なので
が成り立つ。
(2)
ならであるからである。両辺をで割ると
(1)よりである。自然数でを満たすのはだけであり、実際にである。したがって
である。
(3)
式はについて対称なのでとしてよい。
ならよりであり、自然数上で階乗は狭義に増加するからである。よって
は解である。
次にと仮定する。なので、その平均であるについて
したがってである。元の式をで割ると
ここでであり、(1)をへ適用するとだから
よってとなるが、自然数とは両立しない。したがっての場合に解はない。
以上より、すべての解は
である。
解法2（cとbの大小による別解）
(1)
は因子を含み、他の因子はすべて以上なのでである。
(2)
からであり、(1)より
よってから
だけである。
(3)
対称性からとする。ならとなり、を得る。
と仮定する。まずなら
であるが、なので矛盾する。次にならからとなりに反する。最後になら
である一方、よりなので矛盾する。したがってに解はない。
よってすべての解は
である。