九州大学 2024年度
文理共通数学 文系・理系 第4問

解答

解法1（基本移動ベクトルによる分類）

直線上で隣り合う格子点への基本移動を$(r,s)$とする。ただし$r,s$は整数で、共通の正の約数をもたないものとする。3点以上を通るなら$(x,y),(x+r,y+s),(x+2r,y+2s)$が正方形内に入る向きを選べるので

が必要である。

(1)

$n=3$では(1)より$|r|,|s|\leqq 1$である。したがって候補は水平、垂直、傾き$1,-1$だけである。水平線は3本、垂直線は3本、二つの対角方向はそれぞれ1本だから

(2)

$n=4$でも(1)から$|r|,|s|\leqq 1$であり、方向は同じ4種類だけである。水平4本、垂直4本である。傾き$1$の直線は$y=x+c$のうち$c=-1,0,1$の3本、傾き$-1$も対称性により3本なので

(3)

$n=5$では$|r|,|s|\leqq 2$である。$(r,s)$を互いに素に取ると、水平・垂直以外の傾きは

に限られる。

水平・垂直はそれぞれ5本である。傾き$1$は$y=x+c$で$c=-2,-1,0,1,2$の5本、傾き$-1$も5本である。傾き$2$では3点は

の形で、$x=1,2,3$の3本である。傾き$1/2$も座標を入れ替えて3本、符号を負にした二方向もそれぞれ3本である。したがって

{ $5\times 5$格子で新たに現れる基本方向は$(1,2),(2,1)$とその反転。}

解法2（直線の方程式を列挙する別解）

(1)

$3\times 3$格子では、3点を通るために端から端までの座標差が必要である。該当する直線は

の8本なので

(2)

$4\times 4$格子では、水平・垂直が各4本である。斜めは

の3本と、その左右反転である傾き$-1$の3本だけである。傾きの分子または分母の絶対値が2以上なら、3点で必要な2回分の移動が4以上となり、幅3に収まらない。よって

(3)

$5\times 5$格子では、3点の間の2回分の基本移動が幅4に収まる必要がある。互いに素な座標差から、水平・垂直以外の傾きは$\pm 1,\pm 2,\pm 1/2$だけである。

傾き$1$については

の5本である。傾き$2$については

の3本、傾き$1/2$については座標交換により3本である。負の傾きは正方形の左右反転で同数だから

となる。