九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
$C_1$上の$x=a$における接線は、$C_1^{\mathrm{\prime }}=4x$より$$y=4a(x-a)+2a^2=4ax-2a^2$$である。一方、$C_2$上の$x=b$における接線は、$C_2^{\mathrm{\prime }}=4x-8$より$$y=(4b-8)(x-b)+2b^2-8b+16=(4b-8)x-2b^2+16$$である。両者が同じ直線であるための条件は$$4a=4b-8,-2a^2=-2b^2+16$$である。第1式から$b=a+2$であり、これを第2式へ代入すると$$a^2=(a+2{)}^2-8,4a-4=0$$となる。よって$a=1,b=3$であり、求める直線は$$l:y=4x-2$$である。

(2)
$C_1,C_2$の交点は$$2x^2=2x^2-8x+16$$より$x=2$である。接点の横座標はそれぞれ$1,3$なので、囲まれた領域は$1\leqq x\leqq 2$では$C_1$と$l$、$2\leqq x\leqq 3$では$C_2$と$l$に挟まれる。しかも$$2x^2-(4x-2)=2(x-1{)}^2,$$$$(2x^2-8x+16)-(4x-2)=2(x-3{)}^2$$である。したがって面積$S$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^{2}2(x-1{)}^{2}dx+{\int }_2^{3}2(x-3{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}\end{array}$$となる。

接点$x=1,3$と、上側の放物線が替わる交点$x=2$。

直線を$y=mx+n$と置く。放物線と直線の交点を与える二次方程式が重解をもつことと接することは同値なので、二つの判別式をともに$0$とする。これにより接点を二つ導入せずに$m,n$を直接決められる。面積は解法1と同じ交点順序を確認して求める。

(1)
共通接線を$y=mx+n$とする。$C_1$との交点は$$2x^2-mx-n=0$$で与えられる。接するための条件はこの二次方程式が重解をもつことであるから$$\begin{array}{cccc}& m^2+8n=0.& & \text{(1)}\end{array}$$同様に$C_2$との交点は$$2x^2-(m+8)x+16-n=0$$であり、その判別式を$0$とすると$$\begin{array}{cccc}& (m+8{)}^2-8(16-n)=0.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)から$8n=-m^2$である。これを(2)へ代入して$$(m+8{)}^2-128-m^2=0,16m-64=0$$を得るので$m=4$、さらに$n=-2$である。したがって$$l:y=4x-2$$となる。

(2)
$C_1,C_2$の交点は$x=2$、$l$との接点は判別式の重解からそれぞれ$x=1,3$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^2\{2x^2-(4x-2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_2^3\{2x^2-8x+16-(4x-2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_1^{2}2(x-1{)}^{2}dx+{\int }_2^{3}2(x-3{)}^{2}dx=\frac{4}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$