九州大学 2024年度文系数学第1問解答・解説

問題

2つの放物線

C_{1} : y = 2 x^{2}, C_{2} : y = 2 x^{2} - 8 x + 16

の両方に接する直線を $l$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 2つの放物線 $C_{1}, C_{2}$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

出典：九州大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1（接点を置く方法）

各放物線上の接点の横座標をそれぞれ $a, b$ と置き、接線の傾きと切片を一致させる。接点が $x = 1, 3$ 、放物線どうしの交点が $x = 2$ と分かったら、囲まれた領域の上側が $x = 2$ で $C_{1}$ から $C_{2}$ へ替わることを確認して積分を二つに分ける。差がそれぞれ完全平方になるので、面積計算まで見通しよく進む。

解法2（重解条件による別解）

直線を $y = m x + n$ と置く。放物線と直線の交点を与える二次方程式が重解をもつことと接することは同値なので、二つの判別式をともに $0$ とする。これにより接点を二つ導入せずに $m, n$ を直接決められる。面積は解法1と同じ交点順序を確認して求める。

解答

解法1（接点を置く方法）

(1)

$C_{1}$ 上の $x = a$ における接線は、 $C_{1}^{'} = 4 x$ より

y = 4 a (x - a) + 2 a^{2} = 4 a x - 2 a^{2}

である。一方、 $C_{2}$ 上の $x = b$ における接線は、 $C_{2}^{'} = 4 x - 8$ より

y = (4 b - 8) (x - b) + 2 b^{2} - 8 b + 16 = (4 b - 8) x - 2 b^{2} + 16

である。両者が同じ直線であるための条件は

4 a = 4 b - 8, - 2 a^{2} = - 2 b^{2} + 16

である。第1式から $b = a + 2$ であり、これを第2式へ代入すると

a^{2} = (a + 2)^{2} - 8, 4 a - 4 = 0

となる。よって $a = 1, b = 3$ であり、求める直線は

l : y = 4 x - 2

である。

(2)

$C_{1}, C_{2}$ の交点は

2 x^{2} = 2 x^{2} - 8 x + 16

より $x = 2$ である。接点の横座標はそれぞれ $1, 3$ なので、囲まれた領域は $1 ≦ x ≦ 2$ では $C_{1}$ と $l$ 、 $2 ≦ x ≦ 3$ では $C_{2}$ と $l$ に挟まれる。しかも

2 x^{2} - (4 x - 2) = 2 (x - 1)^{2},

(2 x^{2} - 8 x + 16) - (4 x - 2) = 2 (x - 3)^{2}

である。したがって面積 $S$ は

S = \int_{1}^{2} 2 (x - 1)^{2} d x + \int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

となる。

{ 接点 $x = 1, 3$ と、上側の放物線が替わる交点 $x = 2$ 。}

解法2（重解条件による別解）

(1)

共通接線を $y = m x + n$ とする。 $C_{1}$ との交点は

2 x^{2} - m x - n = 0

で与えられる。接するための条件はこの二次方程式が重解をもつことであるから

m^{2} + 8 n = 0. (1)

同様に $C_{2}$ との交点は

2 x^{2} - (m + 8) x + 16 - n = 0

であり、その判別式を $0$ とすると

(m + 8)^{2} - 8 (16 - n) = 0. (2)

(1)から $8 n = - m^{2}$ である。これを(2)へ代入して

(m + 8)^{2} - 128 - m^{2} = 0, 16 m - 64 = 0

を得るので $m = 4$ 、さらに $n = - 2$ である。したがって

l : y = 4 x - 2

となる。

(2)

$C_{1}, C_{2}$ の交点は $x = 2$ 、 $l$ との接点は判別式の重解からそれぞれ $x = 1, 3$ である。よって

S = \int_{1}^{2} {2 x^{2} - (4 x - 2)} d x + \int_{2}^{3} {2 x^{2} - 8 x + 16 - (4 x - 2)} d x = \int_{1}^{2} 2 (x - 1)^{2} d x + \int_{2}^{3} 2 (x - 3)^{2} d x = \frac{4}{3} .

九州大学 2024年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（接点を置く方法）

解法2（重解条件による別解）

解答

解法1（接点を置く方法）

(1)

(2)

解法2（重解条件による別解）

(1)

(2)

九州大学 2024年度
文系数学第1問