九州大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
$B=(x,y)$と置く。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }=\sqrt{10}$より$$\begin{array}{cccc}& x^2+y^2=10.& & \text{(1)}\end{array}$$また$$\overrightarrow{OA}=(2,1),\overrightarrow{AB}=(x-2,y-1)$$であり、$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$だから$$\begin{array}{cccc}& 2(x-2)+(y-1)=0,2x+y=5.& & \text{(2)}\end{array}$$(2)から$y=5-2x$を(1)へ代入すると$$x^2+(5-2x{)}^2=10,(x-1)(x-3)=0$$である。候補は$(x,y)=(1,3),(3,-1)$だが、$B$は第1象限にあるので$$B=(1,3)$$である。

(2)
$A=(2,1),B=(1,3)$と略記する。$C=sA+tB$であるから$$\det (A,C)=\det (A,sA+tB)=t\det (A,B)=5t,$$$$\det (B,C)=\det (B,sA+tB)=s\det (B,A)=-5s\mathrm{.}$$よって$$[OAC]=\frac{5}{2}t,[OBC]=\frac{5}{2}s\mathrm{.}$$$s,t>0$で二つの面積が等しいから$s=t$である。したがって$$\overrightarrow{OC}=s(A+B)=s(3,4)$$となり、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }=5s$である。条件$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }=4$から$$s=t=\frac{4}{5}$$を得る。

$s=t$のとき、$OC$は$A+B=(3,4)$の方向を向く。

(1) は直角三角形$OAB$に注目する。$O{A}^2=5,O{B}^2=10$なので$A{B}^2=5$であり、$\overrightarrow{AB}$は$\overrightarrow{OA}=(2,1)$を${90}^{\circ }$回転したベクトルのどちらかである。第1象限条件で向きを決める。(2)はベクトルの線形性から、$OAC$と$OBC$の面積が共通の基本平行四辺形のそれぞれ$t\mathrm{/}2,s\mathrm{/}2$倍になることを使う。

(1)
$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}$なので三角形$OAB$は$A$を直角とする。したがって$$\mathrm{\mid }AB{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }OB{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }OA{\mathrm{\mid }}^2=10-(2^2+1^2)=5.$$$\overrightarrow{OA}=(2,1)$と同じ長さで直交するベクトルは$(-1,2)$または$(1,-2)$である。前者なら$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(2,1)+(-1,2)=(1,3),$$後者なら$(3,-1)$となる。第1象限にあるのは前者だけなので$$B=(1,3)$$である。

(2)
$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$である。平行四辺形の符号付き面積の双線形性より$$2[OAC]=\mathrm{\mid }\det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\mathrm{\mid }=t\mathrm{\mid }\det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\mathrm{\mid },$$$$2[OBC]=\mathrm{\mid }\det (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})\mathrm{\mid }=s\mathrm{\mid }\det (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$共通の絶対値は$0$でなく、$s,t>0$なので、面積相等は$t=s$と同値である。よって$$\overrightarrow{OC}=s\{(2,1)+(1,3)\}=s(3,4)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }OC\mathrm{\mid }=4$より$5s=4$となるから$$s=t=\frac{4}{5}$$である。