九州大学 2024年度文系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上の原点 $O (0, 0)$ 、点 $A (2, 1)$ を考える。点 $B$ は第1象限にあり、 $∣ O B ∣ = 10$ 、 $O A ⊥ A B$ をみたすとする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $B$ の座標を求めよ。

(2) $s, t$ を正の実数とし、 $O C = s O A + t O B$ をみたす点 $C$ を考える。三角形 $O A C$ と三角形 $O B C$ の面積が等しく、 $∣ O C ∣ = 4$ が成り立つとき、 $s, t$ の値を求めよ。

出典：九州大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1（成分と行列式）

(1)は $B = (x, y)$ と置き、長さの条件 $x^{2} + y^{2} = 10$ と垂直条件 $(2, 1) \cdot (x - 2, y - 1) = 0$ を連立する。(2)では $C = s A + tB$ を行列式へ代入すると、 $[O A C]$ は $t$ に、 $[O B C]$ は $s$ に比例する。正の条件の下で面積相等から $s = t$ を得て、最後に $∣ O C ∣ = 4$ を用いる。

解法2（回転と平行四辺形の面積）

(1)は直角三角形 $O A B$ に注目する。 $O A^{2} = 5, O B^{2} = 10$ なので $A B^{2} = 5$ であり、 $A B$ は $O A = (2, 1)$ を $9 0^{\circ}$ 回転したベクトルのどちらかである。第1象限条件で向きを決める。(2)はベクトルの線形性から、 $O A C$ と $O B C$ の面積が共通の基本平行四辺形のそれぞれ $t /2, s /2$ 倍になることを使う。

解答

解法1（成分と行列式）

(1)

$B = (x, y)$ と置く。 $∣ O B ∣ = 10$ より

x^{2} + y^{2} = 10. (1)

また

O A = (2, 1), A B = (x - 2, y - 1)

であり、 $O A ⊥ A B$ だから

2 (x - 2) + (y - 1) = 0, 2 x + y = 5. (2)

(2)から $y = 5 - 2 x$ を(1)へ代入すると

x^{2} + (5 - 2 x)^{2} = 10, (x - 1) (x - 3) = 0

である。候補は $(x, y) = (1, 3), (3, - 1)$ だが、 $B$ は第1象限にあるので

B = (1, 3)

である。

(2)

$A = (2, 1), B = (1, 3)$ と略記する。 $C = s A + tB$ であるから

det (A, C) = det (A, s A + tB) = t det (A, B) = 5 t,

det (B, C) = det (B, s A + tB) = s det (B, A) = - 5 s .

よって

[O A C] = \frac{5}{2} t, [O B C] = \frac{5}{2} s .

$s, t > 0$ で二つの面積が等しいから $s = t$ である。したがって

O C = s (A + B) = s (3, 4)

となり、 $∣ O C ∣ = 5 s$ である。条件 $∣ O C ∣ = 4$ から

s = t = \frac{4}{5}

を得る。

{ $s = t$ のとき、 $O C$ は $A + B = (3, 4)$ の方向を向く。}

解法2（回転と平行四辺形の面積）

(1)

$O A ⊥ A B$ なので三角形 $O A B$ は $A$ を直角とする。したがって

∣ A B ∣^{2} = ∣ O B ∣^{2} - ∣ O A ∣^{2} = 10 - (2^{2} + 1^{2}) = 5.

$O A = (2, 1)$ と同じ長さで直交するベクトルは $(- 1, 2)$ または $(1, - 2)$ である。前者なら

O B = O A + A B = (2, 1) + (- 1, 2) = (1, 3),

後者なら $(3, - 1)$ となる。第1象限にあるのは前者だけなので

B = (1, 3)

である。

(2)

$O C = s O A + t O B$ である。平行四辺形の符号付き面積の双線形性より

2 [O A C] = ∣ det (O A, O C) ∣ = t ∣ det (O A, O B) ∣,

2 [O B C] = ∣ det (O B, O C) ∣ = s ∣ det (O B, O A) ∣.

共通の絶対値は $0$ でなく、 $s, t > 0$ なので、面積相等は $t = s$ と同値である。よって

O C = s {(2, 1) + (1, 3)} = s (3, 4) .

$∣ O C ∣ = 4$ より $5 s = 4$ となるから

s = t = \frac{4}{5}

である。

九州大学 2024年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（成分と行列式）

解法2（回転と平行四辺形の面積）

解答

解法1（成分と行列式）

(1)

(2)

解法2（回転と平行四辺形の面積）

(1)

(2)

九州大学 2024年度
文系数学第2問