九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

円の中心を $O$ とし，$A,B,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{p}$ とする。半径が1で，3点は円周上にあるので $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=1$$ である。

条件 $AB=\sqrt{3}$ より $\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=3$ である。一方，$$\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$だから，$2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ すなわち $$\vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{1}{2}$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=2-1=1$$ より $\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}\mathrm{\mid }=1$ である。

求める量を展開すると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2+B{P}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{a})+(\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{b})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-2\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b})\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }=1$，$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}\mathrm{\mid }=1$ であるから，$$\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b})\geqq -1$$ である。等号は，$\vec{p}$ が $-(\vec{a}+\vec{b})$ と同じ向きを向くときに成り立つ。この向きの点は円周上に実際に存在する。

したがって $A{P}^2+B{P}^2\leqq 4-2(-1)=6$ であり，最大値は $6$ である。

等号を与える配置では、点 $P$ は $\vec{a}+\vec{b}$ と反対向きにある。

円の中心を原点とし、弦 $AB$ が $y$ 軸に平行になるように $A=(1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$、$B=(1\mathrm{/}2,-\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ と置く。円周上の点を $P=(\cos \theta ,\sin \theta )$ と表して2つの距離の平方を足すと、$4-2\cos \theta$ だけが残る。$-1\leqq \cos \theta \leqq 1$ から最大値と等号条件を直ちに決める。

円の中心を原点とし、座標軸を回転して$$A=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),B=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$$とおく。両点は単位円上にあり、$AB=\sqrt{3}$ である。円周上の点 $P$ は$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$と表せる。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2}& {\displaystyle ={(\cos \theta -\frac{1}{2})}^2+{(\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2})}^2,}\\ {\displaystyle B{P}^2}& {\displaystyle ={(\cos \theta -\frac{1}{2})}^2+{(\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$辺々を加え、${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を用いると$$A{P}^2+B{P}^2=4-2\cos \theta$$となる。$-1\leqq \cos \theta \leqq 1$ だから$$A{P}^2+B{P}^2\leqq 4-2(-1)=6.$$$\cos \theta =-1$、すなわち $P=(-1,0)$ のとき等号が成り立つ。したがって最大値は $6$ である。