問題
半径1の円周上の2点はをみたすとする。点が円周上を動くとき，の最大値を求めよ。
出典：九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
解法1（位置ベクトルと内積で最大化）
円の中心を原点とし， の位置ベクトルをそれぞれ とする。半径が1なので3つのベクトルはいずれも長さ1であり， から ，したがって がわかる。 を展開すると になるので，内積の最小値 を使って最大値を出す。幾何的には， が と反対方向にあるとき最大になる。
解法2（座標と三角関数で1変数化）
円の中心を原点とし、弦 が 軸に平行になるように 、 と置く。円周上の点を と表して2つの距離の平方を足すと、 だけが残る。 から最大値と等号条件を直ちに決める。
解答
解法1（位置ベクトルと内積で最大化）
円の中心を とし， の位置ベクトルをそれぞれ とする。半径が1で，3点は円周上にあるので である。
条件 より である。一方，
だから， すなわち である。したがって より である。
求める量を展開すると，
ここで ， であるから， である。等号は， が と同じ向きを向くときに成り立つ。この向きの点は円周上に実際に存在する。
したがって であり，最大値は である。
等号を与える配置では、点 は と反対向きにある。
解法2（座標と三角関数で1変数化）
円の中心を原点とし、座標軸を回転して
とおく。両点は単位円上にあり、 である。円周上の点 は
と表せる。
このとき
辺々を加え、 を用いると
となる。 だから
、すなわち のとき等号が成り立つ。したがって最大値は である。