九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$g(x)=x^3+x^2-x-1$ とおく。

まず，放物線 $y=x^2$ の $x=a$ における接線を求める。接点は $(a,a^2)$，傾きは $2a$ であるから，接線は $y-a^2=2a(x-a)$ すなわち $y=2ax-a^2$ である。

次に，3次曲線 $y=g(x)$ の $x=b$ における接線を求める。 $g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2x-1$ であるから，傾きは $g^{\mathrm{\prime }}(b)=3b^2+2b-1$ である。また接線の切片は $$g(b)-b{g}^{\mathrm{\prime }}(b)=(b^3+b^2-b-1)-b(3b^2+2b-1)=-2b^3-b^2-1$$ である。したがって3次曲線の接線は $$y=(3b^2+2b-1)x-2b^3-b^2-1$$ である。

同じ直線であるためには，傾きと切片がそれぞれ等しいことが必要十分である。よって $2a=3b^2+2b-1$ かつ $-a^2=-2b^3-b^2-1$ すなわち $a^2=2b^3+b^2+1$ である。

第1式から $$a=\frac{3b^2+2b-1}{2}$$ である。これを第2式へ代入すると $$(3b^2+2b-1{)}^2=4(2b^3+b^2+1)$$ である。整理して $9b^4+4b^3-6b^2-4b-3=0$ となり，因数分解すると $(b-1)(b+1)(9b^2+4b+3)=0$ である。ここで $4^2-4\cdot 9\cdot 3<0$ なので，$9b^2+4b+3=0$ は実数解をもたない。したがって $b=1,b=-1$ である。

$b=1$ のとき，傾きは $3+2-1=4$ で，切片は $-2-1-1=-4$ である。したがって接線は $y=4x-4$ である。

$b=-1$ のとき，傾きは $3-2-1=0$ で，切片は $2-1-1=0$ である。したがって接線は $y=0$ である。

以上より，求める直線は $y=0,y=4x-4$ である。

2本の共通接線と接点の位置関係を図示すると次のようになる。