九州大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $k$回のうち7が出る$n$回の位置は${}_k{\mathrm{C}}_n$通りある。
その$n$回には7，残りの$k-n$回には8・9・10のいずれかが出るので$$P_n={}_k{\mathrm{C}}_n{\left(\frac{1}{10}\right)}^n{\left(\frac{3}{10}\right)}^{k-n}={}_k{\mathrm{C}}_n\frac{3^{k-n}}{{10}^k}\mathrm{.}$$(2) $0\le n\le k-2$では$$\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{k-n}{3(n+1)}\mathrm{.}$$$k=100$のとき，比が1より大きい条件は$4n<97$である。
よって$n=0,1,\dots ,24$では$P_{n+1}>P_n$，
$n=25,26,\dots ,98$では$P_{n+1}<P_n$となる。
したがって最大となるのは$$n=25.$$(3) 比$(k-n)\mathrm{/}\{3(n+1)\}$は$n$とともに狭義単調に減る。
したがって最大値を取る$n$が二つになるための必要十分条件は，
$0\le n\le k-2$の整数で$P_{n+1}\mathrm{/}{P}_n=1$となることである。
これは$$k-n=3(n+1),k=4n+3$$と同値である。したがって求める条件は$$k=4r+3(r=0,1,2,\dots )\mathrm{.}$$このとき最大値を取るのは$n=r,r+1$の二つである。
どちらも$0\le n<k$を満たし，それより前では増加，後では減少する。
$k=1$では$n=0$だけ，$k=2$では$n=0$だけが最大となるため，上の条件以外に例外はない。

1から6が出ない条件を付けて数える別解。

「$k$回とも1から6が出ない」事象を$A$とする。
$P(A)=(4\mathrm{/}10{)}^k$であり，$A$のもとでは各回に7・8・9・10が等確率で出る。
したがって，$A$のもとで7が$n$回出る確率は$${}_k{\mathrm{C}}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}^n{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-n}\mathrm{.}$$これに$P(A)$を掛ければ(1)の$P_n$が得られる。

条件付き確率を使う場合も，最後に条件そのものが起こる確率を掛ける。
一方，最大となる$n$の比較では，$n$によらない正の係数を除いてよい。