九州大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

すべての色の並びは$$N=\frac{10!}{5!3!2!}=2520$$通りで，等確率である。

(1) 赤5個を一つにまとめれば，赤のまとまり1個，白3個，青2個の6個の並びとなる。
その数は$6!\mathrm{/}(3!2!)=60$だから$$\frac{60}{2520}=\frac{1}{42}\mathrm{.}$$(2) 両端を赤に固定すると，内側は赤3個，白3個，青2個であり，
$8!\mathrm{/}(3!3!2!)=560$通り。
このうち青が隣り合う並びは，青のまとまりを一つにして$7!\mathrm{/}(3!3!)=140$通り。
したがって$$\frac{560-140}{2520}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$(3) 青が隣り合う並びは，青をまとめた9個から$9!\mathrm{/}(5!3!)=504$通り。
よって青が隣り合わない並びは$2520-504=2016$通り。

赤が連続する60通りのうち，青も隣り合う並びは，
赤のまとまり1個，青のまとまり1個，白3個から$5!\mathrm{/}3!=20$通り。
したがって求める条件付き確率は$$\frac{60-20}{2016}=\frac{5}{252}\mathrm{.}$$

両端の色を先に固定し、内側の青の位置を選ぶ別解。

両端が赤となる確率は$(5\mathrm{/}10)(4\mathrm{/}9)=2\mathrm{/}9$。
この条件のもとで，青の位置は内側の8か所から選ぶ2か所であり，すべて等確率である。
隣り合う2か所は7通りなので，青が隣り合わない条件付き確率は$$\frac{{}_8{\mathrm{C}}_2-7}{{}_8{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$よって同時に起こる確率は$(2\mathrm{/}9)(3\mathrm{/}4)=1\mathrm{/}6$となる。

色の並びを全体として数える方法と，先に一つの条件を固定して位置を選ぶ方法は同じ結果になる。
条件を固定した後の標本数が，10個から8個へ変わることを確認する。