九州大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 微分して$$\frac{dx}{d\theta }=-\theta \cos \theta ,\frac{dy}{d\theta }=\theta \sin \theta$$を得る。$x$は$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$で減少，$\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi$で増加し，
$\theta =\pi \mathrm{/}2$で極小値$-\pi \mathrm{/}2$を取る。$y$は$0<\theta <\pi$で増加し，極値はない。
端点と極小点の座標は$$\begin{array}{cccc}\theta & 0& \pi \mathrm{/}2& \pi \\ (x,y)& (-1,0)& (-\pi \mathrm{/}2,1)& (1,\pi )\end{array}$$であり，概形は解説の図となる。
$y$軸に平行な接線は$x^{\mathrm{\prime }}=0$，$y^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$となる$\theta =\pi \mathrm{/}2$で得られ，接点は$$(-\pi \mathrm{/}2,1)\mathrm{.}$$なお$\theta =0$では両導関数が0だが，$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$で$dy\mathrm{/}dx=-\tan \theta \to 0$。
始点の接線は$x$軸であり，垂直ではない。

(2) 弧の長さは$${\int }_0^{{\theta }_1}\sqrt{(-\theta \cos \theta {)}^2+(\theta \sin \theta {)}^2}d\theta =\frac{{\theta }_1^2}{2}\mathrm{.}$$よって${\theta }_1^2\mathrm{/}2=2{\pi }^2\mathrm{/}9$，$0\le {\theta }_1\le \pi$から$${\theta }_1=\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$(3) $T=2\pi \mathrm{/}3$とおくと$$P_1=(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3},\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{3})\mathrm{.}$$$0\le \theta \le T$では$x<0$であり，$y$は増加するので，求める面積$S$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_0^{y(T)}xdy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^T(\cos \theta +\theta \sin \theta )\theta \sin \theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^T(\frac{\theta }{2}\sin 2\theta +\frac{{\theta }^2}{2}(1-\cos 2\theta ))d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$部分積分により$$S={[\frac{{\theta }^3}{6}-\frac{{\theta }^2\sin 2\theta }{4}-\frac{\theta \cos 2\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}]}_0^T\mathrm{.}$$$\sin 2T=-\sqrt{3}\mathrm{/}2$，$\cos 2T=-1\mathrm{/}2$を代入して$$S=\frac{4{\pi }^3}{81}+\frac{\sqrt{3}{\pi }^2}{18}+\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}$$

部分積分で面積を求める別解と、始点の割線の傾き。

$S=-{\int }_0^{T}x{y}^{\mathrm{\prime }}d\theta$に部分積分を使うと$$S=-x(T)y(T)+{\int }_0^{T}y{x}^{\mathrm{\prime }}d\theta \mathrm{.}$$第2項では$$y{x}^{\mathrm{\prime }}=-\theta \sin \theta \cos \theta +{\theta }^2{\cos }^2\theta$$となる。半角の公式と部分積分を使って$${\int }_0^{T}y{x}^{\mathrm{\prime }}d\theta ={[\frac{{\theta }^3}{6}+\frac{{\theta }^2\sin 2\theta }{4}+\frac{\theta \cos 2\theta }{2}-\frac{\sin 2\theta }{4}]}_0^T\mathrm{.}$$$T=2\pi \mathrm{/}3$と$P_1$の座標を代入すれば，答案と同じ面積が得られる。

始点での接線も，両導関数が0という事実だけでは決まらない。
$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$では$$y(\theta )={\int }_0^{\theta }t\sin tdt,-x(\theta )-1={\int }_0^{\theta }t\cos tdt\mathrm{.}$$$\sin t\le \tan \theta \cos t$より，両者の比は0以上$\tan \theta$以下となる。
はさみうちから，始点への割線の傾きは0へ近づく。