九州大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$R=\sqrt{1-9x^2}$とおく。
角度の範囲と定義式から$\cos g=\sin h=R>0$であり，微分して$$g^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{R},h^{\mathrm{\prime }}=-\frac{3}{R}$$を得る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =\frac{3(h-g)}{R},}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =\frac{27x(h-g)}{R^3}-\frac{18}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$$$9x^2-1=-R^2$だから$$(9x^2-1)f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+9x{f}^{\mathrm{\prime }}=18.$$(1)の恒等式を微分すると$$(9x^2-1)f^{(3)}+27x{f}^{(2)}+9f^{(1)}=0.$$一般に，$n\ge 1$で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (9x^2-1)f^{(n+2)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +9(2n+1)x{f}^{(n+1)}+9n^2{f}^{(n)}=0}\end{array}$$が成り立つ。実際，$n=1$では上の式である。
この式を微分すると，$x{f}^{(n+2)}$の係数は$18+9(2n+1)=9(2n+3)$，
$f^{(n+1)}$の係数は$9(2n+1)+9n^2=9(n+1{)}^2$となり，$n+1$の式が得られる。

各導関数の0での右極限は有限であるため，$x\to +0$とすると$$-a_{n+2}+9n^2{a}_n=0.$$よって$$y_n=9n^2\mathrm{.}$$

奇数番目と偶数番目の導関数の右極限。

$g(0)=0$，$h(0)=\pi \mathrm{/}2$と$f^{\mathrm{\prime }}$の式から$a_1=3\pi \mathrm{/}2$。
(1)で$x\to +0$とすれば$a_2=-18$である。したがって$$a_3=\frac{27\pi }{2},a_4=-648.$$漸化式の係数$9n^2$は正なので，奇数番目はすべて正，偶数番目はすべて負となる。

2項先と結ぶ漸化式では，奇数番目と偶数番目をそれぞれ別の初期値から追う。
本問は積の微分と数学的帰納法によって，すべての次数の関係を求めている。