九州大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 交点は$x=0,1$で，$0\le x\le 1$では直線が放物線より上にある。
よって面積は$${\int }_0^1\{(x-2)-(2x^2-x-2)\}dx=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(2) 直線は$x-y-2=0$なので，点と直線の距離から$$PH=\frac{\mathrm{\mid }k-(2k^2-k-2)-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}k(1-k)\mathrm{.}$$また，垂線の足は$H=(k^2,k^2-2)$だから$$QH=\sqrt{(k^2{)}^2+(k^2{)}^2}=\sqrt{2}{k}^2\mathrm{.}$$(3) $u=QH=\sqrt{2}{k}^2$とおく。
回転軸に垂直な切り口は半径$PH$の円である。
$du=2\sqrt{2}kdk$より，求める体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}\pi (PH{)}^{2}du}& {\displaystyle =4\sqrt{2}\pi {\int }_0^1{k}^3(1-k{)}^{2}dk}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}\pi (\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\pi }{15}\mathrm{.}}\end{array}$$

回転軸に沿った座標と垂直な座標で表す方法。

点$(x,y)$に対し$$u=\frac{x+y+2}{\sqrt{2}},v=\frac{y-x+2}{\sqrt{2}}$$とおくと，$u$は$Q$から回転軸に沿った座標，$v$は軸に垂直な符号付きの座標である。
放物線上では$u=\sqrt{2}{x}^2$，$v=-\sqrt{2}x(1-x)$，直線上では$v=0$となる。
この二つの座標は，平面を45度回転して原点を$Q$へ移したもので，長さを変えない。

斜めの軸の回転体でも，軸に沿った座標と垂直な距離を求めれば，円の切り口で積分できる。
問題の誘導で求めた二つの長さを，それぞれ積分の変数と半径に使う。