九州大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$F(x)=\sin x-x+x^3\mathrm{/}6$とおく。
$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x\ge 0$，$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$だから，$x\ge 0$で$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$。
同様に$F^{\mathrm{\prime }}(0)=F(0)=0$から，順に$F^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$，$F(x)\ge 0$となる。
よって求める不等式が成り立つ。

$n\ge 2$について考える。$x-\sin x$の導関数は$1-\cos x\ge 0$なので，$x\ge 0$で$\sin x\le x$。
(1)と合わせて$$a_n-\frac{a_n^3}{6}\le \frac{1}{n}\le a_n\mathrm{.}$$$a_n>0$で割ると$$1-\frac{a_n^2}{6}\le \frac{1}{n{a}_n}\le 1.$$$a_n\to 0$より$1\mathrm{/}(n{a}_n)\to 1$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{a}_n=1.$$$G(x)=x-x^3\mathrm{/}6+x^5\mathrm{/}120-\sin x$とおく。$$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-x+\frac{x^3}{6}+\sin x=F(x)\ge 0.$$$G^{\mathrm{\prime }}(0)=G(0)=0$だから，$x\ge 0$で$G^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$，$G(x)\ge 0$となる。
よって求める不等式が成り立つ。

(1) ，(3)を$x=b_n$へ適用すると$$\frac{b_n^3}{6}-\frac{b_n^5}{120}\le b_n-\sin b_n=\frac{1}{n}\le \frac{b_n^3}{6}\mathrm{.}$$$b_n^3>0$で割れば$$\frac{1}{6}-\frac{b_n^2}{120}\le \frac{1}{n{b}_n^3}\le \frac{1}{6}\mathrm{.}$$$b_n\to 0$より$1\mathrm{/}(n{b}_n^3)\to 1\mathrm{/}6$なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{b}_n^3=6.$$

三角関数の基本極限と、二つの数列の収束の速さ。

(2) は$n{a}_n=a_n\mathrm{/}\sin a_n$と書けるため，
${\lim }_{x\to 0}\sin x\mathrm{/}x=1$からも直ちに求められる。
(4)では，二つの不等式によって$$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$$を高校数学の微分とはさみうちだけで証明している。

(4) から$n^{1\mathrm{/}3}{b}_n\to \sqrt[3]{6}$も従う。
$(2)$の$a_n$は$n^{-1}$，$(4)$の$b_n$は$n^{-1\mathrm{/}3}$の大きさで0へ近づく。