名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $A(a,0)$ を通る直線のうち，まず縦でないものを考える。傾きを $t$ として $y=t(x-a)$ とおく。この直線と楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$$ との交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とする。

代入すると $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+t^2(x-a{)}^2=1$$ である。整理して $$(t^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})x^2-2a{t}^{2}x+a^2{t}^2-1=0$$ を得る。したがって解と係数の関係より $$x_1+x_2={\displaystyle \frac{2a{t}^2}{t^2+1\mathrm{/}4}}$$ である。

中点を $M=(X,Y)$ とすると $$X={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}={\displaystyle \frac{a{t}^2}{t^2+1\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{4a{t}^2}{4t^2+1}}$$ である。また，2つの交点は同じ直線上にあるから，中点も同じ直線上にある。したがって $Y=t(X-a)$ である。上の $X$ を用いると $$X-a={\displaystyle \frac{4a{t}^2}{4t^2+1}}-a=-{\displaystyle \frac{a}{4t^2+1}}$$ なので $$Y=-{\displaystyle \frac{at}{4t^2+1}}$$ である。

ここで $$X={\displaystyle \frac{4a{t}^2}{4t^2+1}},a-X={\displaystyle \frac{a}{4t^2+1}}$$ であるから $$X(a-X)={\displaystyle \frac{4a^2{t}^2}{(4t^2+1{)}^2}}=4Y^2$$ を得る。よって $4Y^2=X(a-X)$ である。これを整理すると $X^2-aX+4Y^2=0$ すなわち $${(X-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+4Y^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。

逆に，この曲線上で $0\leqq X<a$ の点は，上の式からある実数 $t$ によって表される。さらに縦の直線 $x=a$ の場合，交点の中点は $(a,0)$ であり，これは $${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+4y^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ を満たす。したがって求める軌跡は $${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+4y^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。

直線を傾きで表さず，方向ベクトル $(u,v)$ を用いる。点 $A$ からの媒介変数についてできる2次方程式の解の和を使えば，縦の直線も含めて一度に中点を表せる。

点 $A(a,0)$ を通る直線の方向ベクトルを $(u,v)$ とする。ただし $(u,v)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。この直線上の点を$$(x,y)=(a+su,sv)$$と表す。

楕円に代入すると$$({\displaystyle \frac{u^2}{4}}+v^2)s^2+{\displaystyle \frac{au}{2}}s+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-1=0$$となる。この2根を $s_1,s_2$ とすると$$s_1+s_2=-{\displaystyle \frac{2au}{u^2+4v^2}}$$である。交点を結ぶ線分の中点を $M=(X,Y)$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =a+{\displaystyle \frac{s_1+s_2}{2}}u={\displaystyle \frac{4a{v}^2}{u^2+4v^2}},}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{s_1+s_2}{2}}v=-{\displaystyle \frac{auv}{u^2+4v^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$X(a-X)={\displaystyle \frac{4a^2{u}^2{v}^2}{(u^2+4v^2{)}^2}}=4Y^2$$である。すなわち$${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+4y^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$が求める軌跡である。方向 $(u,v)$ を動かせばこの楕円全体が得られ，$u=0$ は縦の直線による点 $(a,0)$，$v=0$ は横の直線による点 $(0,0)$ に対応する。