名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・微分理系数学 第4問(b)

(1)
正三角形の周長は3である。3秒後に $P,Q,R$ が進む距離はそれぞれ $3,6,9$ で、全点が同時に元の位置へ戻る。よって$$S(t+3)=S(t)\mathrm{.}$$(2)$$A=(0,0),B=(1,0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$とする。$0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}3$ では $P,Q,R$ は順に辺 $AB,BC,CA$ 上にあり、座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(t,0),}\\ {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(1-t,\sqrt{3}t),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1-3t}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1-3t)}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$符号つき面積の2倍$$\mathrm{\Delta }=x_P(y_Q-y_R)+x_Q(y_R-y_P)+x_R(y_P-y_Q)$$を計算すると、この区間では正で$$S(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(11t^2-6t+1)\mathrm{.}$$したがって$$S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(22t-6)$$より、最小にする時刻は$$t={\displaystyle \frac{3}{11}}\mathrm{.}$$(3)
時刻 $t$ の周上の道のりは$$P:t,Q:1+2t,R:2+3t$$をそれぞれ3で割った余りである。各点のいる辺が変わる時刻で分けると$$\begin{array}{cc}\text{範囲}& \mathrm{\Delta }\mathrm{/}\sqrt{3}\\ 0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{11t^2-6t+1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}& -t(2t-1)\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}& (t-1)(2t-1)\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq t\leqq 1& -{\displaystyle \frac{11t^2-16t+6}{2}}\\ 1\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}& -{\displaystyle \frac{11t^2-28t+18}{2}}\\ {\displaystyle \frac{4}{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}& {\displaystyle \frac{(t-2)(t-1)}{2}}\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5}{3}}& -{\displaystyle \frac{(t-2)(3t-5)}{2}}\\ {\displaystyle \frac{5}{3}}\leqq t\leqq 2& 0\end{array}$$である。二次式の判別式と各因数の零点を調べると$$S(t)=0⟺t={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{または}{\displaystyle \frac{5}{3}}\leqq t\leqq 2.$$左は最小時刻の配置、右は $0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}3$ の面積変化

最初の区間の面積二次式は平方完成して最小時刻を出す。面積0は共線条件なので、3点がいる辺の組合せで分類する。3辺に1点ずつならメネラウスの定理、同じ辺に2点なら一致条件を用いる。

(1)
3秒間に $P,Q,R$ はそれぞれ1周、2周、3周する。したがって$$S(t+3)=S(t)\mathrm{.}$$(2)
$0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}3$ の座標から$$S(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(11t^2-6t+1)\mathrm{.}$$ここで$$11t^2-6t+1=11{(t-{\displaystyle \frac{3}{11}})}^2+{\displaystyle \frac{2}{11}}\mathrm{.}$$よって最小にする時刻は$$t={\displaystyle \frac{3}{11}}\mathrm{.}$$(3)
開区間ごとの辺の組合せは$$\begin{array}{cccc}\text{範囲}& P& Q& R\\ (0,1\mathrm{/}3)& AB& BC& CA\\ (1\mathrm{/}3,1\mathrm{/}2)& AB& BC& AB\\ (1\mathrm{/}2,2\mathrm{/}3)& AB& CA& AB\\ (2\mathrm{/}3,1)& AB& CA& BC\\ (1,4\mathrm{/}3)& BC& AB& CA\\ (4\mathrm{/}3,3\mathrm{/}2)& BC& AB& AB\\ (3\mathrm{/}2,5\mathrm{/}3)& BC& BC& AB\\ (5\mathrm{/}3,2)& BC& BC& BC\end{array}$$である。

3辺に1点ずつある3区間でメネラウスの定理を用いると、一直線条件は$$11t^2-6t+1=0,11t^2-16t+6=0,11t^2-28t+18=0.$$いずれも判別式が $-8$ で、解はない。

$(1\mathrm{/}3,2\mathrm{/}3)$ では $P,R$ が辺 $AB$ 上で一致するときだけ共線となり、周上の道のりから$$t=3t-1$$を解いて $t=1\mathrm{/}2$ を得る。次の2つの区間では同じ辺上の2点の一致は起こらない。$t=5\mathrm{/}3$ で $R$ も辺 $BC$ に入り、$t=2$ まで3点すべてが $BC$ 上にある。

したがって$$S(t)=0⟺t={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{または}{\displaystyle \frac{5}{3}}\leqq t\leqq 2.$$