名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

板は平面 $x=1$ 上にあり、高さ $z$ での切り口は$$0\leqq y\leqq 1-z(0\leqq z\leqq 1)$$である。点 $(1,y,z)$ から回転軸 $l$ までの距離の二乗は$$1+{(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$$0\leqq z\leqq 1\mathrm{/}2$ では線分が $y=1\mathrm{/}2$ を含む。内半径は1、外半径は $y=0$ で $\sqrt{5}\mathrm{/}2$ だから、断面積は$$\pi ({\displaystyle \frac{5}{4}}-1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$$1\mathrm{/}2\leqq z\leqq 1$ では内半径が $y=1-z$ で生じるので、断面積は$$\pi \{{\displaystyle \frac{5}{4}}-1-{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\}\mathrm{.}$$したがって$$V={\int }_0^{1\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}dz+{\int }_{1\mathrm{/}2}^1\pi \{{\displaystyle \frac{1}{4}}-{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\}dz={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\pi }{12}}\mathrm{.}$$ゆえに$$V={\displaystyle \frac{5\pi }{24}}\mathrm{.}$$

回転軸からの半径を $r$ とし、$t=\sqrt{r^2-1}$ と置く。同じ半径に対応する板上の二点のうち、より高くまで板がある方を選ぶと、円筒殻の高さが $1\mathrm{/}2+t$ になる。

板上の点 $(1,y,z)$ の回転半径を $r$ とすると$$r^2=1+{(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$$$t=\sqrt{r^2-1}$$ とおけば $y=1\mathrm{/}2\pm t$ である。板の条件は $0\leqq z\leqq 1-y$ なので、二点のうち $y=1\mathrm{/}2-t$ を選ぶと高さが最大になり$$0\leqq z\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+t\mathrm{.}$$$0\leqq y\leqq 1$ より $0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}2$、すなわち$$1\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$半径 $r$、高さ $1\mathrm{/}2+\sqrt{r^2-1}$ の薄い円筒殻を積み上げると$$V=2\pi {\int }_1^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}r({\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{r^2-1})dr\mathrm{.}$$二項を分けて計算すれば$$V={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{5\pi }{24}}\mathrm{.}$$