名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

高さ $z$ での板の切り口は$$-L\leqq y\leqq L,L=1-z,0\leqq L\leqq 1.$$回転半径の二乗は $1+(y-a{)}^2$ である。外半径は左端で$$R^2=1+(a+L{)}^2\mathrm{.}$$$L<a$ では内半径が右端で $r^2=1+(a-L{)}^2$ なので断面積は $4\pi aL$ である。$L\geqq a$ では線分が $y=a$ を含み、内半径は1だから断面積は $\pi (a+L{)}^2$ である。

$0<a\leqq 1$ のとき$$V={\int }_0^{a}4\pi aLdL+{\int }_a^1\pi (a+L{)}^{2}dL={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1+3a+3a^2-a^3)\mathrm{.}$$$a\geqq 1$ のときは全範囲で $L<a$ だから$$V={\int }_0^{1}4\pi aLdL=2\pi a\mathrm{.}$$よって$$V=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1+3a+3a^2-a^3)& (0<a\leqq 1),\\ 2\pi a& (a\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$

回転半径に対し $t=\sqrt{r^2-1}=\mathrm{\mid }y-a\mathrm{\mid }$ と置く。同じ半径で最も高い板上の点は $y=a-t$ であり、殻の高さは $1-\mathrm{\mid }a-t\mathrm{\mid }$ になる。積分区間だけ $a\leqq 1$ と $a\geqq 1$ で変わる。

回転半径を $r$ とし$$t=\sqrt{r^2-1}=\mathrm{\mid }y-a\mathrm{\mid }$$とおく。板は $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+z\leqq 1$ である。同じ $t$ に対応する点のうち $y=a-t$ が最も高くまで板をもち、円筒殻の高さは$$1-\mathrm{\mid }a-t\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$また $rdr=tdt$ である。

$0<a\leqq 1$ では $0\leqq t\leqq a+1$ だから$$V=2\pi \{{\int }_0^{a}t(1-a+t)dt+{\int }_a^{a+1}t(1+a-t)dt\}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1+3a+3a^2-a^3)\mathrm{.}$$$a\geqq 1$ では $a-1\leqq t\leqq a+1$ なので$$V=2\pi \{{\int }_{a-1}^{a}t(1-a+t)dt+{\int }_a^{a+1}t(1+a-t)dt\}=2\pi a\mathrm{.}$$したがって解法1と同じ場合分けを得る。