名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

ひし形を$$A=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},0),B=(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),D=(0,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$と置き、対角線の交点を $O=(0,0)$ とする。

第1象限の三角形 $OCB$ にある点は、$A$ より $C$ に近く、$D$ より $B$ に近い。したがって、ひし形全体が覆われることは、三角形 $OCB$ が中心 $C$、半径 $a$ の円の内部と、中心 $B$、半径 $b$ の円の内部との和で覆われることと同値である。

4つのおうぎ形の面積の和は$$2\cdot {\displaystyle \frac{120}{360}}\pi a^2+2\cdot {\displaystyle \frac{60}{360}}\pi b^2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(2a^2+b^2)\mathrm{.}$$よって $2a^2+b^2$ を最小にすればよい。

$0<a\leqq 1\mathrm{/}2$ の場合。

辺 $OC$ 上で $CX=a$ となる点を $X$ とする。$C$ の円で覆われない部分を $B$ の円が覆うには、少なくとも $BX\leqq b$ が必要である。直角三角形の座標から$$B{X}^2={({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}=a^2-a+1.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2a^2+b^2}& {\displaystyle \geqq 3a^2-a+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3{(a-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^2+{\displaystyle \frac{11}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$この条件が辺だけでなく三角形全体に対して十分な下限を与えることも確認する。$C$ からの距離が $a$ である円弧上の点を$$({\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{a^2-y^2},y)$$と書く。この点と $B$ との距離の2乗は$$1+a^2-\sqrt{a^2-y^2}-\sqrt{3}y\mathrm{.}$$該当する円弧では $0\leqq y\leqq \sqrt{3}a\mathrm{/}2$ である。関数$$\sqrt{a^2-y^2}+\sqrt{3}y$$はこの区間で上に凸なので最小値は端点で取り、その値は $a$ である。したがって、$C$ の円の外側で $B$ から最も遠い点は $X$ であり、必要な半径は$$b^2\geqq a^2-a+1$$である。

$1\mathrm{/}2\leqq a\leqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$ の場合。

$C$ の円と辺 $OB$ の交点の高さを$$y_0=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$$とする。同じ円弧上の比較から、$C$ の円の外側で $B$ から最も遠い点は $(0,y_0)$ である。よって$$b\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$$$u=\sqrt{a^2-1\mathrm{/}4}$$ と置けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2a^2+b^2}& {\displaystyle \geqq 2a^2+{({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-u)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3u^2-\sqrt{3}u+{\displaystyle \frac{5}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3{(u-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})}^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 1.}\end{array}$$これは $11\mathrm{/}12$ より大きい。

以上より、全範囲での下限は $11\mathrm{/}12$ であり、等号が可能なのは$$a={\displaystyle \frac{1}{6}},b^2={\displaystyle \frac{31}{36}}$$のときである。すなわち$$a={\displaystyle \frac{1}{6}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{31}}{6}}\mathrm{.}$$上で示した最遠点の評価により、この半径の2円は三角形 $OCB$ を実際に覆う。対称性からひし形全体も4つのおうぎ形で覆われる。

第1象限の三角形を高さ $y$ の水平線で切る。右端側を中心 $C$ の円、左端側を中心 $B$ の円で覆うと考え、2つの円が各断面上で途切れず重なる条件を求める。$a<1\mathrm{/}2$ では最も厳しい断面が底辺 $OC$、$a\geqq 1\mathrm{/}2$ では中心 $C$ の円が辺 $OB$ と交わる高さになる。これを面積式へ代入して平方完成する。

対称性により、三角形$$T=\{(x,y)|0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{3}}}\}$$を、中心 $C=(1\mathrm{/}2,0)$、半径 $a$ の円と、中心 $B=(0,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$、半径 $b$ の円で覆えばよい。

高さ $y$ の断面で、中心 $C$ の円が届く左端は$$x_C(y)={\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{a^2-y^2}$$である。一方、中心 $B$ の円が届く右端は$$x_B(y)=\sqrt{b^2-{({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-y)}^2}\mathrm{.}$$断面に隙間がないためには $x_B(y)\geqq x_C(y)$ が必要である。

$0<a\leqq 1\mathrm{/}2$ では、$y=0$ の断面が$$\sqrt{b^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}-a$$を与える。すなわち$$\begin{array}{cccc}& b^2\geqq a^2-a+1.& & \text{(1)}\end{array}$$実はこれで全断面が覆われる。$0\leqq y\leqq \sqrt{3}a\mathrm{/}2$ では$$\sqrt{a^2-y^2}+\sqrt{3}y\geqq a$$であるため、(1) から $x_B(y)\geqq x_C(y)$ が従う。それより高い断面では、右端 $BC$ まで中心 $B$ の円が届く。

したがって$$2a^2+b^2\geqq 3a^2-a+1=3{(a-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^2+{\displaystyle \frac{11}{12}}\mathrm{.}$$一方 $a\geqq 1\mathrm{/}2$ では、中心 $C$ の円は辺 $OB$ と高さ$$y_0=\sqrt{a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$$で交わる。この断面の左端 $(0,y_0)$ を中心 $B$ の円が覆う必要があるから$$b\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-y_0\mathrm{.}$$$u=y_0$ と置くと$$2a^2+b^2\geqq 3{(u-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})}^2+1\geqq 1.$$よって小さい方の下限は $11\mathrm{/}12$。等号は$$a={\displaystyle \frac{1}{6}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{31}}{6}}$$で成立する。断面の重なりも上で確認済みなので、これが求める値である。