名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$m$ 回サイコロを投げたとき，偶数の目が1回も出ない確率は ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$ である。したがって，少なくとも1回偶数の目が出る確率は $$p=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$$ である。

一方，$n$ 回投げたとき，6の目が1回も出ない確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$ であるから，6の目が少なくとも1回出る確率は $1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$ である。

これが $p$ 以上である条件は $$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\geqq 1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$$ である。両辺を整理すると $${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$$ である。両辺は正であり，常用対数を取ると $$n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5}{6}}\leqq m{\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。両方とも負なので符号に注意して $$n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{6}{5}}\geqq m{\log }_{10}2$$ を得る。

したがって $${\displaystyle \frac{n}{m}}\geqq {\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}(6\mathrm{/}5)}}$$ であればよい。ここで $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{6}{5}}={\log }_{10}6-{\log }_{10}5$$ であり，$${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3,{\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2$$であるから $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{6}{5}}=2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3-1$$ である。与えられた値を代入すると $$2\cdot 0.3010+0.4771-1=0.0791$$ である。よって $${\displaystyle \frac{n}{m}}\geqq {\displaystyle \frac{0.3010}{0.0791}}=3.805\cdots$$ である。

指定に従って小数第2位を四捨五入し，小数第1位までで表すと ${\displaystyle \frac{n}{m}}\geqq 3.8$ である。ここで $3.805\cdots$ は，与えられた対数の近似値を用いた計算結果である。

必要な比を $r=n\mathrm{/}m$ とおき，余事象の不等式を $(5\mathrm{/}6{)}^r\leqq 1\mathrm{/}2$ までまとめる。指数関数の単調性と常用対数から境界値を求め，丸める前の値も残して条件の意味を明確にする。

偶数が一度も出ない確率は $(1\mathrm{/}2{)}^m$，6が一度も出ない確率は $(5\mathrm{/}6{)}^n$ である。したがって求める条件は$$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\geqq 1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$$すなわち$${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^m$$である。

ここで $r=n\mathrm{/}m$ とおく。両辺の正の $m$ 乗根を取れば$${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^r\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$となる。常用対数を取って整理すると$$r\geqq {\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}(6\mathrm{/}5)}}$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\log }_{10}{\displaystyle \frac{6}{5}}}& {\displaystyle ={\log }_{10}2+{\log }_{10}3-(1-{\log }_{10}2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.0791}\end{array}$$だから$$r\geqq {\displaystyle \frac{0.3010}{0.0791}}=3.805\cdots$$を得る。境界値を小数第1位まで表すと $3.8$ である。したがって答えは$${\displaystyle \frac{n}{m}}\geqq 3.8\text{（与えられた近似値で }3.805\cdots \text{）}$$である。