名大 1983年度文系数学第3問(b)（図形と方程式）｜問題・解答・解説

方針

周長3を法とする道のりで3点の位置を表す。辺が切り替わる時刻で区間を分け、各点の座標を符号つき面積の公式へ代入する。面積0は得られた二次式・積の零点から漏れなく拾う。

解答

(1)
正三角形の周長は3である。3秒間に $P, Q, R$ が進む距離はそれぞれ $3, 6, 9$ で、いずれも周長の整数倍である。したがって3点が同時に元の位置へ戻り $S (t + 3) = S (t)$ となる。

(2) $A = (0, 0), B = (1, 0), C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ とする。周上の位置を $A$ から進んだ道のりで表すと、時刻 $t$ では $P : t, Q : 1 + 2 t, R : 2 + 3 t$ をそれぞれ3で割った余りとなる。

3点 $(x_{P}, y_{P}), (x_{Q}, y_{Q}), (x_{R}, y_{R})$ の符号つき面積の2倍を $Δ = x_{P} (y_{Q} - y_{R}) + x_{Q} (y_{R} - y_{P}) + x_{R} (y_{P} - y_{Q})$ とする。各区間で座標を代入すると $\begin{array}{cc} 範囲 & Δ / \sqrt{3} \\ 0 ≦ t ≦ \frac{1}{3} & \frac{11 t^{2} - 6 t + 1}{2} \\ \frac{1}{3} ≦ t ≦ \frac{1}{2} & - t (2 t - 1) \\ \frac{1}{2} ≦ t ≦ \frac{2}{3} & (t - 1) (2 t - 1) \\ \frac{2}{3} ≦ t ≦ 1 & - \frac{11 t^{2} - 16 t + 6}{2} \\ 1 ≦ t ≦ \frac{4}{3} & - \frac{11 t^{2} - 28 t + 18}{2} \\ \frac{4}{3} ≦ t ≦ \frac{3}{2} & \frac{(t - 2) (t - 1)}{2} \\ \frac{3}{2} ≦ t ≦ \frac{5}{3} & - \frac{(t - 2) (3 t - 5)}{2} \\ \frac{5}{3} ≦ t ≦ 2 & 0 \end{array}$ である。面積は $S (t) = ∣ Δ ∣ / 2$ である。最初・第4・第5の二次式は判別式が負で零点をもたず、残りの区間を含めて調べると $t = \frac{1}{2}, \frac{5}{3} ≦ t ≦ 2$ を得る。後の区間では3点がすべて辺 $B C$ 上にある。

図は $t = 1 / 4$ の位置。速さの違いで辺の切替時刻が分かれる

別解

解法2（辺の組合せとメネラウスの定理）

方針

周期は周長から示す。面積0を3点の一直線条件と読み替え、各時刻区間で3点がどの辺にいるかだけを調べる。3辺に1点ずつある区間はメネラウスの定理、2点が同じ辺にある区間は一致条件で判定する。

解答

(1)
3秒で各点が周をそれぞれ1周、2周、3周する。したがって3点の配置が同時に戻るので $S (t + 3) = S (t) .$ (2)
辺の切替時刻で区切ると、3点のいる辺は次のようになる。 $\begin{array}{cccc} 範囲 & P & Q & R \\ (0, 1 / 3) & A B & B C & C A \\ (1 / 3, 1 / 2) & A B & B C & A B \\ (1 / 2, 2 / 3) & A B & C A & A B \\ (2 / 3, 1) & A B & C A & B C \\ (1, 4 / 3) & B C & A B & C A \\ (4 / 3, 3 / 2) & B C & A B & A B \\ (3 / 2, 5 / 3) & B C & B C & A B \\ (5 / 3, 2) & B C & B C & B C \end{array}$ 最初、 $(2 / 3, 1)$ 、 $(1, 4 / 3)$ では3辺に1点ずつある。各辺上の進行比をメネラウスの定理へ代入すると、一直線条件は順に $11 t^{2} - 6 t + 1 = 0, 11 t^{2} - 16 t + 6 = 0, 11 t^{2} - 28 t + 18 = 0$ となる。いずれも判別式は $- 8$ で、実数解をもたない。

$(1 / 3, 2 / 3)$ では $P, R$ がともに辺 $A B$ 上にあり、一直線となるには両点が一致する必要がある。周上の道のりを比べると $t = 3 t - 1,$ すなわち $t = 1 / 2$ である。 $(4 / 3, 3 / 2)$ と $(3 / 2, 5 / 3)$ では同じ辺上の2点が一致する解は区間内にない。ただし $t = 5 / 3$ で $R$ も辺 $B C$ に入り、以後 $t = 2$ まで3点がすべて $B C$ 上にある。

よって $S (t) = 0 ⟺ t = \frac{1}{2} または \frac{5}{3} ≦ t ≦ 2.$

総評

周上を異なる速さで動く3点の共線時刻を求める問題。目安時間は27分。高校数学の座標面積公式とメネラウスの定理で再構成した。連続区間 $[5 / 3, 2]$ では3点が乗るのは辺 $C A$ ではなく辺 $B C$ であることも確認した。

出典: 名古屋大学 1983年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式文系数学 第3問(b)

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名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験図形と方程式文系数学第3問(b)