名古屋大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $\pi$平面は$x+y+z=0$であり，その法線方向は$(1,1,1)$である。点$(x,y,z)$から$\pi$平面への正射影は $(x,y,z)-{\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}(1,1,1)$ で与えられる。

よって$$\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}}),\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}}),\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$$である。

これらの長さはすべて$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$$である。また，異なる2つの内積は，例えば$$\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}\cdot \overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}=-{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。したがってなす角$\theta$は $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}3}{(\sqrt{6}\mathrm{/}3{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たすので $\theta ={120}^{\circ }$ である。

(2)

点$A(x_1,y_1,z_1)$の正射影$A^{\mathrm{\prime }}$について$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=x_1\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+y_1\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}+z_1\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$$である。また$$\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}=\vec{0}$$である。 $x_1\geqq y_1\geqq z_1$のとき，$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=(x_1-y_1)\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+(y_1-z_1)(-\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}})$$と書ける。ここで$x_1-y_1\geqq 0$，$y_1-z_1\geqq 0$である。したがって$A^{\mathrm{\prime }}$のとりうる領域は，$\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}$の方向の半直線と$-\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$の方向の半直線にはさまれた領域である。 $\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}$と$-\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$のなす角は${60}^{\circ }$であるから，図示すべき領域は，$x^{\mathrm{\prime }}$軸の正方向と$z^{\mathrm{\prime }}$軸の負方向にはさまれた${60}^{\circ }$の扇形領域である。境界も含む。

(3) $x_1,y_1,z_1$に同じ数を加えても，$A^{\mathrm{\prime }}$は変わらない。実際，$$\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}=\vec{0}$$だからである。したがって，最大値と最小値の差だけを見るときは，最小値を$0$，最大値を$k$として考えてよい。

たとえば$x_1=k$，$z_1=0$，$0\leqq y_1\leqq k$とすると，$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=k\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+y_1\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}$$であり，これは$k\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}$から$-k\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$までの線分を動く。同様に，どの座標が最大でどの座標が最小かを入れ替えると，軌跡は$$\pm k\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}},\pm k\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}},\pm k\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$$を頂点とする正六角形の周である。

隣り合う頂点，たとえば$k\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}$と$-k\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}$の距離は$$k\mathrm{\mid }\overrightarrow{{e_1}^{\mathrm{\prime }}}+\overrightarrow{{e_3}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }=k\mathrm{\mid }-\overrightarrow{{e_2}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}k$$である。よって軌跡の長さは $$6\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}k=2\sqrt{6}k$$ である。

射影後も座標差が変わらないことに注目し、$u=x_1-y_1$、$v=y_1-z_1$ を平面内の座標として使う。順序条件は第1象限、最大値と最小値の差一定は六角形になる。

(1)
射影公式$$(x,y,z)⟼(x,y,z)-{\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}(1,1,1)$$より$${\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}(2,-1,-1),{\vec{e}}_2^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}(-1,2,-1),{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}(-1,-1,2)\mathrm{.}$$各長さは $\sqrt{6}\mathrm{/}3$、異なる2本の内積は $-1\mathrm{/}3$ だから、相互の角は
${120}^{\circ }$ である。

(2) $$u=x_1-y_1,v=y_1-z_1$$とおく。3座標から同じ数を引いても射影は変わらないので、射影点は$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=u{\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }}-v{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}$$と表せる。条件 $x_1\geqq y_1\geqq z_1$ は $u\geqq 0,v\geqq 0$
そのものである。したがって領域は、${\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }}$ と $-{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}$ の
方向にはさまれた、境界を含む ${60}^{\circ }$ の扇形である。

(3)
最大値と最小値の差が $k$ で、順序が
$x_1\geqq y_1\geqq z_1$ の部分では$$u+v=k,u,v\geqq 0.$$よってこの部分の軌跡は $k{\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }}$ と $-k{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}$ を結ぶ線分である。
6通りの大小順序を合わせると$$\pm k{\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }},\pm k{\vec{e}}_2^{\mathrm{\prime }},\pm k{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}$$を頂点とする正六角形になる。1辺は$$k\mathrm{\mid }{\vec{e}}_1^{\mathrm{\prime }}+{\vec{e}}_3^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=k\mathrm{\mid }{\vec{e}}_2^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}k$$だから、全長は$$2\sqrt{6}k\mathrm{.}$$