名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

直線(i)，(ii)を$$P(s)=(1,2,3)+s(1,1,-1),Q(t)=(-1,-2,-3)+t(3,-3,1)$$と表す。方向ベクトルをそれぞれ$$\mathit{u}=(1,1,-1),\mathit{v}=(3,-3,1)$$とする。$P(s)-Q(t)$が両方に垂直である条件は$$\{P(s)-Q(t)\}\cdot \mathit{u}=0,\{P(s)-Q(t)\}\cdot \mathit{v}=0$$である。ここで$$P(s)-Q(t)=(2+s-3t,4+s+3t,6-s-t)$$だから、整理すると$$3s+t=0,s+19t=0.$$したがって$s=t=0$である。よって(i)，(ii)の共通垂線は$$L:(x,y,z)=\lambda (1,2,3)$$である。

(iii)は$$R(u)=(2,4,6)+u(a,1,1)$$と表せる。基準点$(2,4,6)=2(1,2,3)$はすでに$L$上にある。したがって必要十分な残りの条件は、方向$(a,1,1)$が$L$の方向に垂直なことである。$$(a,1,1)\cdot (1,2,3)=a+5=0.$$ゆえに$$a=-5$$である。実際、このとき(iii)は$L$上の点$(2,4,6)$で$L$と直交する。

方向ベクトルの外積から共通垂線の向きを直接求める。さらに(i)，(ii)の基準点がその向きの同一直線上にあることを利用し、(iii)の基準点と方向だけで$a$を決める。

(i)，(ii)の方向を$$\mathit{u}=(1,1,-1),\mathit{v}=(3,-3,1)$$とすると、$$\mathit{u}\times \mathit{v}=(-2,-4,-6)$$である。したがって両方に垂直な直線の方向は$$\mathit{w}=(1,2,3)$$に平行でなければならない。

(i)上の点$$P_0=(1,2,3)=\mathit{w}$$と(ii)上の点$$Q_0=(-1,-2,-3)=-\mathit{w}$$は、原点を通り方向$\mathit{w}$の同一直線上にある。また$$\mathit{w}\cdot \mathit{u}=0,\mathit{w}\cdot \mathit{v}=0$$だから、この直線が(i)，(ii)の共通垂線である。

(iii)の基準点も$(2,4,6)=2\mathit{w}$でこの共通垂線上にある。ゆえに(iii)の方向$(a,1,1)$について$$\mathit{w}\cdot (a,1,1)=a+5=0$$となればよく、結論は$$a=-5$$である。