名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$AB=c$, $BC=a$, $CA=b$とし、頂点$A,B,C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$とする。3点が次の頂点に到達するまでの間は$$\overrightarrow{OP(t)}=\vec{a}+{\displaystyle \frac{ut}{c}}(\vec{b}-\vec{a}),\overrightarrow{OQ(t)}=\vec{b}+{\displaystyle \frac{vt}{a}}(\vec{c}-\vec{b}),\overrightarrow{OR(t)}=\vec{c}+{\displaystyle \frac{wt}{b}}(\vec{a}-\vec{c})$$である。

重心の位置ベクトルを$\vec{g}(t)$とすると$$\vec{g}(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{\overrightarrow{OP(t)}+\overrightarrow{OQ(t)}+\overrightarrow{OR(t)}\}$$である。したがって、重心が$t$によらず一定であることは、$t$の係数が0であること、すなわち$${\displaystyle \frac{u}{c}}(\vec{b}-\vec{a})+{\displaystyle \frac{v}{a}}(\vec{c}-\vec{b})+{\displaystyle \frac{w}{b}}(\vec{a}-\vec{c})=\vec{0}$$と同値である。

ここで $$\vec{a}-\vec{c}=-(\vec{b}-\vec{a})-(\vec{c}-\vec{b})$$ であるから、上の式は$$({\displaystyle \frac{u}{c}}-{\displaystyle \frac{w}{b}})(\vec{b}-\vec{a})+({\displaystyle \frac{v}{a}}-{\displaystyle \frac{w}{b}})(\vec{c}-\vec{b})=\vec{0}$$となる。$\vec{b}-\vec{a}$と$\vec{c}-\vec{b}$は平行でないので一次独立である。よって $${\displaystyle \frac{u}{c}}={\displaystyle \frac{w}{b}},{\displaystyle \frac{v}{a}}={\displaystyle \frac{w}{b}}$$ すなわち $${\displaystyle \frac{u}{c}}={\displaystyle \frac{v}{a}}={\displaystyle \frac{w}{b}}$$ である。

一方、3点が次の頂点に到達する時刻はそれぞれ ${\displaystyle \frac{c}{u}},{\displaystyle \frac{a}{v}},{\displaystyle \frac{b}{w}}$ である。これらが等しいことは $${\displaystyle \frac{u}{c}}={\displaystyle \frac{v}{a}}={\displaystyle \frac{w}{b}}$$ と同値である。したがって、3点が同時に次の頂点に到達するための必要十分条件は、$\mathrm{△}P(t)Q(t)R(t)$の重心の位置が$t$によらず一定であることである。

各点が次の頂点に着くまでの所要時間を $T_P,T_Q,T_R$ と置く。時刻 $t$ の位置を、頂点の係数の和が1になる内分表示で書くと、重心の各頂点係数が得られる。三角形の頂点による表示の一意性から、重心一定と3つの所要時間一致を直接結ぶ。

3点が次の頂点へ着くまでの時間を$$T_P={\displaystyle \frac{AB}{u}},T_Q={\displaystyle \frac{BC}{v}},T_R={\displaystyle \frac{CA}{w}}$$とする。時刻 $t$ の各点は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(t)}& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{t}{T_P}})A+{\displaystyle \frac{t}{T_P}}B,}\\ {\displaystyle Q(t)}& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{t}{T_Q}})B+{\displaystyle \frac{t}{T_Q}}C,}\\ {\displaystyle R(t)}& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{t}{T_R}})C+{\displaystyle \frac{t}{T_R}}A}\end{array}$$と表せる。

したがって重心 $G(t)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3G(t)=}& {\displaystyle (1-{\displaystyle \frac{t}{T_P}}+{\displaystyle \frac{t}{T_R}})A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(1-{\displaystyle \frac{t}{T_Q}}+{\displaystyle \frac{t}{T_P}})B}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(1-{\displaystyle \frac{t}{T_R}}+{\displaystyle \frac{t}{T_Q}})C\mathrm{.}}\end{array}$$3頂点 $A,B,C$ は一直線上にないので、係数の和が一定であるこの表示では、$G(t)$ が一定となるためには $t$ の各係数が消えることが必要十分である。よって$$-{\displaystyle \frac{1}{T_P}}+{\displaystyle \frac{1}{T_R}}=0,-{\displaystyle \frac{1}{T_Q}}+{\displaystyle \frac{1}{T_P}}=0,$$すなわち$$T_P=T_Q=T_R\mathrm{.}$$これは3点が同時に次の頂点へ到達することそのものである。逆も同じ計算から直ちに従う。