名古屋大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $u=a^x$とおく。$a>0$，$a\mathrm{\ne }1$であり，$x=0$では分母が$0$になるので定義されない。したがって$u>0$，$u\mathrm{\ne }1$である。

このとき$$f(x)={\displaystyle \frac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}}={\displaystyle \frac{u+u^{-1}}{u-u^{-1}}}={\displaystyle \frac{u^2+1}{u^2-1}}$$である。 $u>1$なら $${\displaystyle \frac{u^2+1}{u^2-1}}=1+{\displaystyle \frac{2}{u^2-1}}>1$$ である。また$0<u<1$なら分母が負で，$${\displaystyle \frac{u^2+1}{u^2-1}}=-1+{\displaystyle \frac{2u^2}{u^2-1}}<-1$$ である。

逆に，$u\to 1+0$で$f(x)\to +\mathrm{\infty }$，$u\to \mathrm{\infty }$で$f(x)\to 1+0$であるから，$(1,\mathrm{\infty })$の値はすべてとる。さらに$u\to 1-0$で$f(x)\to -\mathrm{\infty }$，$u\to +0$で$f(x)\to -1-0$であるから，$(-\mathrm{\infty },-1)$の値もすべてとる。

よって値域は $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })$ である。

(2) $\lambda =\log a$とおく。$a>0$，$a\mathrm{\ne }1$より$\lambda \mathrm{\ne }0$である。また$a^x=e^{\lambda x}$なので，$f(x)$の符号は$\lambda x$の符号と同じである。

方程式$f(x)-bx=0$は $$b={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$$ と見ればよい。

まず$\lambda >0$，すなわち$a>1$の場合を考える。このとき$x>0$なら$f(x)>0$，$x<0$なら$f(x)<0$であるから，どちらの場合も$f(x)\mathrm{/}x>0$である。さらに$x>0$で$${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\to +\mathrm{\infty }(x\to +0),{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\to 0+0(x\to +\mathrm{\infty })$$である。連続性より，任意の$b>0$に対して$f(x)\mathrm{/}x=b$を満たす$x>0$が存在する。一方，$b\leqq 0$では$f(x)\mathrm{/}x>0$に反するので解はない。

次に$\lambda <0$，すなわち$0<a<1$の場合を考える。このとき$f(x)$と$x$の符号は反対になるから，$f(x)\mathrm{/}x<0$である。また同様に連続性から，$f(x)\mathrm{/}x$は負の値をすべてとる。したがって解が存在するのは$b<0$のときに限られる。

以上をまとめると，求める条件は $b\log a>0$ である。

$t=x\log a$ と置いて双曲線関数の式へ変える。方程式を $t\tanh t$ の値域問題にし、存在条件と解の個数を同時に判定する。

$\lambda =\log a\mathrm{\ne }0$、$t=\lambda x$ とおくと$$f(x)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{e^t-e^{-t}}}\mathrm{.}$$(1)
$t>0$ なら$$f(x)=1+{\displaystyle \frac{2}{e^{2t}-1}}>1,$$$t<0$ なら $f(-t)=-f(t)<-1$ である。$t\to 0$ と
$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ の極限も合わせると値域は$$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$(2)
方程式 $f(x)=bx$ の両辺に$${\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}}$$を掛けると$$1={\displaystyle \frac{b}{\lambda }}t\tanh t,$$すなわち$$t\tanh t={\displaystyle \frac{\lambda }{b}}\mathrm{.}$$$t\mathrm{\ne }0$ で $t\tanh t>0$ である。またこれは偶関数で、
$t>0$ において$${\displaystyle \frac{d}{dt}}(t\tanh t)=\tanh t+{\displaystyle \frac{t}{{\cosh }^{2}t}}>0,$$$t\to 0+$ で0、$t\to \mathrm{\infty }$ で $\mathrm{\infty }$ となる。したがって方程式が
解をもつ必要十分条件は$${\displaystyle \frac{\lambda }{b}}>0,$$すなわち$$b\log a>0.$$この条件のもとでは $t=\pm t_0$ が得られるので、実数解は対称な2個である。